8. Inf´ erence 215
Sous l’hypoth` ese nulle, la statistique T suit une loi de Student `
a m+n−2 degr´ es
de libert´ e. Dans le cas de l’exercice, les valeurs observ´ ees sont m = n = 15,
x 2,99, y 2,90, ˆ
σ
2
x 0,29 et ˆ
σ
2
y 0,25. Ainsi, t obs 0,47 et la p-valeur est
p-valeur = P (| T |> t obs ) 0,64.
On ne rejette pas l’hypoth` ese nulle, on ne peut pas affirmer que les moyennes
des ´ echantillons sont diff´ erentes.
8.20
1. Puisque les 2 ´ echantillons sont ind´ ependants et les observations issues
d’une loi normale, nous effectuons un test de Student `
a 2 ´ echantillons,
pour tester
H 0 : µ S = µ D
H A : µ S = µ D ,
o` u µ S (respectivement µ D ) est le nombre moyen d’heures de sommeil
additionnel pour les utilisateurs de Sopo (respectivement Dodo).
2. On calcule ¯
x D = 1,05, ¯
x S = 1,89 et les ´ ecart-types estim´ es ˆ
σ
2
D = 1,60 et
ˆ
σ
2
S = 3,15. La statistique de test observ´ ee est
t obs =
¯
x S − ¯
x D
ˆ
σ 2
S +ˆ σ 2
D
n
=
1,03 − 1,05
1,60−3,15
10
1,22
Puisque le quantile 0,975 de la loi t 9 est ´ egal `
a 2,26, on n’a pas assez
d’´ evidence pour rejeter H 0 .
3. (a) D´ efinissons la diff´ erence ∆ = µ S − µ D . On teste alors
H 0 : ∆ = 0
H A : ∆ = 0
avec la statistique de test
T =
¯
D
ˆ
σ∆
√
n
o` u D i = X
S
i − X
D
i , ¯
D = ¯
X S − ¯
X D et ˆ
σ
2
∆ = 1/(n− 1)
n
i=1 (D i − ¯
D)
2 .
Sous H 0 on a que T ∼ t (n−1) .
La valeur observ´ ee de la statistique sur l’´ echantillon vaut
t obs =
0,84
0,56
10
= 3,55,
ce qui est plus grand que t 0,975;9 = 2,26, le quantile 0,975 de la
loi t (n−1) . On rejette H 0 au profit de H A . Il y a bien une diff´ erence
entre les 2 somnif` eres.
(b) Le dernier test est plus appropri´ e que le premier parce que nous
tenons compte de la physiologie de chaque individu.
Sous l’hypoth` ese nulle, la statistique T suit une loi de Student `
a m+n−2 degr´ es
de libert´ e. Dans le cas de l’exercice, les valeurs observ´ ees sont m = n = 15,
x 2,99, y 2,90, ˆ
σ
2
x 0,29 et ˆ
σ
2
y 0,25. Ainsi, t obs 0,47 et la p-valeur est
p-valeur = P (| T |> t obs ) 0,64.
On ne rejette pas l’hypoth` ese nulle, on ne peut pas affirmer que les moyennes
des ´ echantillons sont diff´ erentes.
8.20
1. Puisque les 2 ´ echantillons sont ind´ ependants et les observations issues
d’une loi normale, nous effectuons un test de Student `
a 2 ´ echantillons,
pour tester
H 0 : µ S = µ D
H A : µ S = µ D ,
o` u µ S (respectivement µ D ) est le nombre moyen d’heures de sommeil
additionnel pour les utilisateurs de Sopo (respectivement Dodo).
2. On calcule ¯
x D = 1,05, ¯
x S = 1,89 et les ´ ecart-types estim´ es ˆ
σ
2
D = 1,60 et
ˆ
σ
2
S = 3,15. La statistique de test observ´ ee est
t obs =
¯
x S − ¯
x D
ˆ
σ 2
S +ˆ σ 2
D
n
=
1,03 − 1,05
1,60−3,15
10
1,22
Puisque le quantile 0,975 de la loi t 9 est ´ egal `
a 2,26, on n’a pas assez
d’´ evidence pour rejeter H 0 .
3. (a) D´ efinissons la diff´ erence ∆ = µ S − µ D . On teste alors
H 0 : ∆ = 0
H A : ∆ = 0
avec la statistique de test
T =
¯
D
ˆ
σ∆
√
n
o` u D i = X
S
i − X
D
i , ¯
D = ¯
X S − ¯
X D et ˆ
σ
2
∆ = 1/(n− 1)
n
i=1 (D i − ¯
D)
2 .
Sous H 0 on a que T ∼ t (n−1) .
La valeur observ´ ee de la statistique sur l’´ echantillon vaut
t obs =
0,84
0,56
10
= 3,55,
ce qui est plus grand que t 0,975;9 = 2,26, le quantile 0,975 de la
loi t (n−1) . On rejette H 0 au profit de H A . Il y a bien une diff´ erence
entre les 2 somnif` eres.
(b) Le dernier test est plus appropri´ e que le premier parce que nous
tenons compte de la physiologie de chaque individu.