1. Probabilit´ es ´ el´ ementaires 15
1.14
Soient A l’´ ev´ enement « avoir 1 accident ou plus » et B 1 (respectivement B 2
et B 3 ) l’´ ev´ enement « appartenir `
a la cat´ egorie bas (respectivement moyen et
haut) risque ».
1.
P (A) = P (A | B 1 )P (B 1 ) + P (A | B 2 )P (B 2 ) + P (A | B 3 )P (B 3 )
= 0,05 · 0,2 + 0,15 · 0,5 + 0,3 · 0,3 = 0,175.
2.
P (B 1 | A) =
P (A | B 1 )P (B 1 )
P (A)
=
0,95 · 0,2
0,825
0,23.
1.15
Soient E i l’´ ev´ enement « l’avion est dans la r´ egion i » et M i l’´ ev´ enement
« on ne trouve pas l’avion dans la r´ egion i », avec i = 1 , 2 , 3. On sait que
P (E i ) =
1
3
et P (M i | E i ) = α i , i = 1 , 2 , 3.
On cherche les probabilit´ es que l’avion se trouve dans une des 3 r´ egions en
sachant que les recherches dans la zone 1 n’ont rien donn´ e
P (E 1 | M 1 ) =
P (E 1 ) · P (M 1 | E 1 )
3
i=1 P (M 1 | E i ) · P (E i )
=
α 1 · 1/3
α 1 · 1/3 + 1/3 + 1/3
=
α 1
α 1 + 2
.
Dans ce calcul, on a tenu compte du fait qu’il est certain de ne pas trouver
l’avion dans la zone 1 si ce dernier se trouve en r´ ealit´ e dans les zones 2 ou 3
(P (M 1 | E 2 ) = P (M 1 | E 3 ) = 1). On proc` ede de la mˆ eme mani` ere pour
P (E 2 | M 1 ) =
P (E 2 ) · P (M 1 | E 2 )
3
i=1 P (M 1 | E i ) · P (E i )
=
1
α 1 + 2
= P (E 3 | M 1 ).
1.16
Soient les ´ ev´ enements W = « la m´ et´ eo pr´ evoit la pluie », R=« il pleut » et
U = « Mr. Pickwick prend son parapluie ». On sait que P (R) = 1/2. De plus,
on peut dessiner l’arbre de la figure 1.2, avec lequel on calcule
1.
P (U ) =
1
2
2
3
+
1
2
1
3
+
1
2
1
3
1
3
+
1
2
2
3
1
3
=
2
3
,
2.
P (U | R) =
P (U ∩ R)
P (R)
=
1/2 · 1/3 · 2/3
1/2
=
2
9
,