8. Inf´ erence 213
Par l’approximation normale
p − valeur = P H0
X − 8
√
8
<
5 − 8
√
8
Φ(−1,0607) ≈ 0,14.
Le test n’est pas significatif au seuil de 5 % et l’hypoth` ese nulle n’est pas rejet´ ee.
8.16
Les hypoth` eses sont
H 0 : µ = 3,1
H A : µ > 3,1.
La moyenne et l’´ ecart-type estim´ e de l’´ echantillon sont X = 3,26 et ˆ
σ = 0,24.
Soit la statistique de test
T =
X − µ
ˆ
σ/
√
n
.
La statistique T suit une loi de Student `
a n − 1 degr´ es de libert´ e. La valeur
observ´ ee t obs sur l’´ echantillon est
t obs
3,26 − 3,1
0,24/
√
9
= 2.
Les quantiles ` a 95 % et 99 % d’une loi de Student `
a 8 degr´ es de libert´ e valent
respectivement 1,86 et 2,9. Par cons´ equent, le docteur Fischbach rejette l’hypoth` ese nulle avec un seuil ` a 5 % et ne la rejette pas s’il choisit un seuil ` a
1 %.
8.17
1. Sous H 0 ,
1
σ 2
n
i=1 (X i − X)
2 suit une loi χ
2 ` a (n − 1) degr´ es de libert´ e.
2. On cherche k α tel que
P H0 (ˆ σ
2 < k α ) = 0,95
et, en utilisant le point 1., on trouve
P H0 (ˆ σ
2 < k α ) = P H0
1
n − 1
n
i=1
(X i − X)
2 < k α
= P H0
1
σ 2
0
n
i=1
(X i − X)
2 <
n − 1
σ 2
0
k α
= P H0
U <
n − 1
σ 2
0
k α
,