212 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
La statistique T suit une loi normale centr´ ee et r´ eduite. La valeur observ´ ee
t obs de la statistique sur l’´ echantillon est
t obs =
1,79 − 1,4
1,02/
√
25
1,91.
Le quantile `
a 95 % de la loi normale vaut environ 1,96 et est sup´ erieur ` a
la valeur observ´ ee. On ne rejette donc pas l’hypoth` ese nulle.
3. Le quantile `
a 99 % vaut environ 2,49. Encore une fois, l’hypoth` ese nulle
n’est pas rejet´ ee.
8.14
Soit la variable al´ eatoire X i telle que
X i =
0 si l’enfant i est une fille
1 si l’enfant i est un gar¸ con,
et d´ efinissons Y =
n
i=1 X i . La variable al´ eatoire Y suit une loi binomiale de
param` etres (512, p), o` u p est la probabilit´ e qu’un nouveau-n´ e soit un gar¸ con.
On d´ esire tester l’hypoth` ese H 0 contre H A telles que
H 0 : p = 1/2
H A : p > 1/2.
On va calculer la p-valeur. La distribution exacte est connue, mais nous allons
voir que le calcul de la probabilit´ e serait laborieux si on ne disposait pas d’un
ordinateur. Par cons´ equent, la distribution de Y est approxim´ ee par une loi
normale centr´ ee et r´ eduite en appliquant le th´ eor` eme central limite.
p-valeur = P H0
512
i=1
X i > 284
P H0
512
i=1 X i − np
np(1 − p)
>
284 − np
np(1 − p)
P (Z > 2,48) 0,007,
o` u Z est distribu´ ee selon une loi normale de param` etres (0, 1). On rejette donc
au seuil de 5 % l’hypoth` ese affirmant que les filles ont autant de chance que les
gar¸ cons d’ˆ etre pr´ ematur´ ees.
8.15
Soit X le nombre d’accidents par ann´ ee, X ∼ P(λ). L’hypoth` ese nulle est
H 0 : λ = 8 et on observe X = 5. La p-valeur est
p − valeur = P H0 (X < 5)
= e
−8
1 + 8 +
8
2
2! +
8
3
3! +
8
4
4!
0,10.
La statistique T suit une loi normale centr´ ee et r´ eduite. La valeur observ´ ee
t obs de la statistique sur l’´ echantillon est
t obs =
1,79 − 1,4
1,02/
√
25
1,91.
Le quantile `
a 95 % de la loi normale vaut environ 1,96 et est sup´ erieur ` a
la valeur observ´ ee. On ne rejette donc pas l’hypoth` ese nulle.
3. Le quantile `
a 99 % vaut environ 2,49. Encore une fois, l’hypoth` ese nulle
n’est pas rejet´ ee.
8.14
Soit la variable al´ eatoire X i telle que
X i =
0 si l’enfant i est une fille
1 si l’enfant i est un gar¸ con,
et d´ efinissons Y =
n
i=1 X i . La variable al´ eatoire Y suit une loi binomiale de
param` etres (512, p), o` u p est la probabilit´ e qu’un nouveau-n´ e soit un gar¸ con.
On d´ esire tester l’hypoth` ese H 0 contre H A telles que
H 0 : p = 1/2
H A : p > 1/2.
On va calculer la p-valeur. La distribution exacte est connue, mais nous allons
voir que le calcul de la probabilit´ e serait laborieux si on ne disposait pas d’un
ordinateur. Par cons´ equent, la distribution de Y est approxim´ ee par une loi
normale centr´ ee et r´ eduite en appliquant le th´ eor` eme central limite.
p-valeur = P H0
512
i=1
X i > 284
P H0
512
i=1 X i − np
np(1 − p)
>
284 − np
np(1 − p)
P (Z > 2,48) 0,007,
o` u Z est distribu´ ee selon une loi normale de param` etres (0, 1). On rejette donc
au seuil de 5 % l’hypoth` ese affirmant que les filles ont autant de chance que les
gar¸ cons d’ˆ etre pr´ ematur´ ees.
8.15
Soit X le nombre d’accidents par ann´ ee, X ∼ P(λ). L’hypoth` ese nulle est
H 0 : λ = 8 et on observe X = 5. La p-valeur est
p − valeur = P H0 (X < 5)
= e
−8
1 + 8 +
8
2
2! +
8
3
3! +
8
4
4!
0,10.