210 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
8.10
1. Puisque X i suit une loi Gamma de param` etres (3, θ), son esp´ erance est
E(X i ) =
3
θ
.
On trouve alors l’estimateur des moments ˆ
θ M de θ :
ˆ
θ M =
3
X
.
2. Pour construire un intervalle de confiance pour µ, on utilise le th´ eor` eme
central limite
X − E(X)
var(X)
∼ N (0,1),
avec E(X) = 3/θ et var(X) =
3
nθ 2 . Ainsi, pour un intervalle de confiance
` a 95 %, on obtient
−1,96 <
X −
3
θ
3
nθ 2
< 1,96
⇔ −1,96 <
n
3
Xθ −
√
3n < 1,96
⇔ IC =
3
X
± 1,96
3
n
1
X
.
Avec n = 100 et x = 6, l’intervalle devient [0,444 ; 0,556].
8.11
Soit x i la i
e mesure avec i = 1, . . . , 9.
1. La moyenne de l’´ echantillon est x 1,02.
2. Pour d´ eterminer un intervalle de confiance pour µ = E(X), on fait
l’hypoth` ese que X suit approximativement une loi normale de param` etres (1,02, 0,09). Ainsi, l’intervalle de confiance `
a 95 % pour µ est
IC =
x ± z 0,975
σ
√
n
[0,82 ; 1,22],
o` u z 0,975 1,96 est le 0,975-quantile de la loi normale centr´ ee et r´ eduite.
3. Pour r´ eduire la taille de l’intervalle de confiance, le biochimiste doit augmenter la taille de l’´ echantillon ou r´ eduire le niveau de confiance.
8.10
1. Puisque X i suit une loi Gamma de param` etres (3, θ), son esp´ erance est
E(X i ) =
3
θ
.
On trouve alors l’estimateur des moments ˆ
θ M de θ :
ˆ
θ M =
3
X
.
2. Pour construire un intervalle de confiance pour µ, on utilise le th´ eor` eme
central limite
X − E(X)
var(X)
∼ N (0,1),
avec E(X) = 3/θ et var(X) =
3
nθ 2 . Ainsi, pour un intervalle de confiance
` a 95 %, on obtient
−1,96 <
X −
3
θ
3
nθ 2
< 1,96
⇔ −1,96 <
n
3
Xθ −
√
3n < 1,96
⇔ IC =
3
X
± 1,96
3
n
1
X
.
Avec n = 100 et x = 6, l’intervalle devient [0,444 ; 0,556].
8.11
Soit x i la i
e mesure avec i = 1, . . . , 9.
1. La moyenne de l’´ echantillon est x 1,02.
2. Pour d´ eterminer un intervalle de confiance pour µ = E(X), on fait
l’hypoth` ese que X suit approximativement une loi normale de param` etres (1,02, 0,09). Ainsi, l’intervalle de confiance `
a 95 % pour µ est
IC =
x ± z 0,975
σ
√
n
[0,82 ; 1,22],
o` u z 0,975 1,96 est le 0,975-quantile de la loi normale centr´ ee et r´ eduite.
3. Pour r´ eduire la taille de l’intervalle de confiance, le biochimiste doit augmenter la taille de l’´ echantillon ou r´ eduire le niveau de confiance.