8. Inf´ erence 209
On a
ECM( ˆ
θ M , θ) = var( ˆ
θ M ) + biais
2 ( ˆ
θ M , θ) =
θ
2
3n(2k + 1) 2 .
3. Puisque ˆ
θ M est fonction de ¯
X, la distribution asymptotique de ˆ
θ M s’obtient `
a l’aide du th´ eor` eme central limite
ˆ
θ M − E( ˆ
θ M )
var( ˆ
θ M )
∼ N (0,1)
ˆ
θ M − θ
θ
(2k+1)
√ 3n
∼ N (0,1)
4. Pour construire l’intervalle de confiance, on utilise le r´ esultat du point 3.,
d’o` u l’on tire que
−z 0,975 <
ˆ
θ M − θ
θ
(2k+1)
√ 3n
< z 0,975
et ensuite
1 −
1,96
(2k + 1)
√
3n
<
ˆ
θ M
θ
< 1 +
1,96
(2k + 1)
√
3n
(2k + 1)
√
3n − 1,96
(2k + 1)
√
3n
<
ˆ
θ M
θ
<
(2k + 1)
√
3n + 1,96
(2k + 1)
√
3n
(2k + 1)
√
3n ˆ
θ M
(2k + 1)
√
3n + 1,96
< θ <
(2k + 1)
√
3n ˆ
θ M
(2k + 1)
√
3n − 1,96
2
√
3n ¯
X
(2k + 1)
√
3n + 1,96
< θ <
2
√
3n ¯
X
(2k + 1)
√
3n − 1,96
5. La longueur de l’intervalle calcul´ e au point 4. est
l(k) =
2
√
3n ¯
X
(2k + 1) 2
√
3n − 1,96
−
2
√
3n ¯
X
(2k + 1)
√
3n + 1,96
=
4 · 1,96
√
3n ¯
X
3n(2k + 1) 2 − (1,96) 2
Il s’agit d’une fonction d´ ecroissante en k : si k augmente, l(k) diminue.