208 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
On d´ erive les 2 membres de cette ´ egalit´ e et on obtient
ϕ(b 1 ) = ϕ(−b 2 ),
o` u ϕ(·) est la densit´ e de la loi normale centr´ ee et r´ eduite. Par sym´ etrie
de la fonction ϕ(·), on obtient
b 1 = b 2 = b.
La contrainte implique alors
Φ(b) − Φ(−b) = Φ(b) − (1 − Φ(b)) = 2Φ(b) − 1 = 0,9
⇔ Φ(b) = 0,95 ⇔ b 1,64.
Les valeurs qui minimisent la longueur de l’intervalle sont b 1 = b 2 1,64.
8.9
1. Pour d´ eterminer l’estimateur des moments, il faut d’abord calculer son
esp´ erance
E(X) =
θ(k+1)
θk
xf (x)dx =
θ(k+1)
θk
x
θ
dx =
x
2
2θ
x=θ(k+1)
x=θk
=
2k + 1
2
θ.
L’estimateur doit satisfaire
2k + 1
2
ˆ
θ M = ¯
X,
donc ˆ
θ M =
2 ¯
X
2k+1 .
Puisque
plim n→∞
ˆ
θ M =
2
2k + 1
plim n→∞ ¯
X =
2
2k + 1
E(X i ) =
=
2
2k + 1
·
2k + 1
2
θ = θ
l’estimateur ˆ
θ M est convergent.
2. L’estimateur ˆ
θ M est sans biais et sa variance vaut
var( ˆ
θ M ) =
4
(2k + 1) 2 var( ¯
X) =
4
(2k + 1) 2
var(X i )
n
=
4
(2k + 1) 2 ·
1
n
·
θ
2
12
=
θ
2
3n(2k + 1) 2 .