8. Inf´ erence 207
lorsque n → ∞. Avec µ = 5, σ = 1 et n = 100 on obtient donc
P ( ¯
Y − 0,1 < 5 < ¯
Y + 0,1) = P (−0,1 < ¯
Y − 5 < 0,1)
= P
−0,1
1/
√
100
< Z <
0,1
1/
√
100
= P (−1 < Z < 1)
= 2 · P (Z < 1)
= 0,682.
Sur les 1 000 ´ echantillons simul´ es, 682 intervalles de la forme [ ¯
Y − 0,1 ; ¯
Y + 0,1]
contiendront la valeur 5.
8.8
1. Le degr´ e de confiance est la probabilit´ e de couverture de l’intervalle de
confiance, c’est-` a-dire la probabilit´ e que µ appartienne `
a l’intervalle
P
y −
b 1
√
n
< µ < y +
b 2
√
n
= P
−b 1 <
µ − y
1/
√
n
< b 2
= P
−b 2 <
y − µ
1/
√
n
< b 1
= Φ(b 1 ) − Φ(−b 2 ),
o` u Φ(·) est la fonction de r´ epartition de la loi normale centr´ ee et r´ eduite.
2. La longueur de l’intervalle de confiance est
y +
b 2
√
n
−
y −
b 1
√
n
=
1
√
n
(b 2 + b 1 ).
On veut donc minimiser (b 1 + b 2 ) sous la contrainte Φ(b 1 )− Φ(−b 2 ) = 0,9.
Construisons le lagrangien L
L = b 1 + b 2 + λ [Φ(b 1 ) − Φ(−b 2 ) − 0,9] ,
o` u λ est un multiplicateur de Lagrange. La minimisation de L donne le
syst` eme suivant
∂L
∂b 1
= 1 + λΦ
(b 1 ) = 0
∂L
∂b 2
= 1 + λΦ
(−b 2 ) = 0
∂L
∂λ
= Φ(b 1 ) − Φ(b 2 ) − 0,9 = 0,
qui, par diff´ erence de ces 2 premi` eres ´ equations, conduit `
a
Φ
(b 1 ) = −Φ
(−b 2 ).