206 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. Par le th´ eor` eme central limite
−z 1−α/2 <
n
i=1 X i − E(
n
i=1 X i )
var(
n
i=1 X i )
< z 1−α/2 ,
avec α = 5 %. D’apr` es les r´ esultats du point 1.,
−z 1−α/2 <
n
i=1 X i − nµ
n/2 µ
< z 1−α/2 ,
donc
n
i=1 X i
n +
n/2z 1−α/2
< µ <
n
i=1 X i
n −
n/2z 1−α/2
.
8.6
La demi-longueur a de l’intervalle de confiance au degr´ e (1 − α) est
a = z 1−
α
2
p(1 − p)
n
,
o` u p est la vraie proportion de personnes favorables `
a la proposition, n la taille
de l’´ echantillon et z 1−
α
2
le (1 −
α
2 ) quantile de la distribution N (0, 1). La demilongueur maximale est obtenue pour p =
1
2 ,
a = z 1−
α
2
1
2
√
n
.
1. Dans ce cas (1 − α) = 95 %, z 1−
α
2
= z 0,975 = 1,96, a = 0,10/2. On obtient
n =
z
2
1−
α
2
4a 2 = 384.
L’´ etude n’est donc pas faisable `
a ces conditions.
2. Ici z 1−
α
2
= 2a
√
n = 2 · 0,05 ·
√
200 =
√
2 1,412.
Donc 1 −
α
2 = 0,92, α = 0,16 et 1 − α = 0,84.
8.7
Par le th´ eor` eme central limite, on a
¯
Y − µ
σ/
√
n
∼ N (0, 1)