8. Inf´ erence 205
8.4
Soit ˆ
µ l’estimateur de µ tel que
ˆ
µ =
1
2
(X + Y ).
Les variables al´ eatoires X i et Y i suivent des lois normales de variances connues.
Pour calculer l’intervalle de confiance bas´ e sur ˆ
µ, il faut calculer sa variance
var(ˆ µ) = var
1
2
(X + Y )
=
1
4
var(X) + var(Y )
=
1
4
σ
2
H
n
+
σ
2
F
n
=
1
4n
(σ
2
H + σ
2
F ),
o` u l’on a utilis´ e l’ind´ ependance des X i avec les Y i . L’intervalle de confiance est
par cons´ equent
IC =
ˆ
µ ± z 1−α/2
var(ˆ µ)
=
1
2
(X + Y ) ±
1
2
z 1−α/2
σ 2
H + σ 2
F
n
.
8.5
1. On sait que E(X i ) = 2/λ. Pour calculer la variance de X i , il faut connaˆ ıtre
E(X
2
i )
E(X
2
i ) =
∞
0
x
2 λ
2 x exp(−λx)dx = λ
2
∞
0
x
3 exp(−λx)dx.
L’int´ egrale se fait par parties
λ
2
∞
0
x
3 exp(−λx)dx = 3λ
2
∞
0
x
2
1
λ
exp(−λx)
dx.
Soit Z une variable al´ eatoire suivant une distribution exponentielle de
param` etre λ. L’int´ egrale pr´ ec´ edente est alors ´ egale `
a l’esp´ erance de Z
2 .
Comme var(Z) = 1/λ
2 et E(Z) = 1/λ, on en d´ eduit que E(Z
2 ) =
var(Z) + E
2 (Z) = 2/λ
2 . Finalement
E(X
2
i ) = 3λ
2 2
λ 2 = 6.
Ce r´ esultat permet d’obtenir var(
n
i=1 X i ) en fonction de µ
var(
n
i=1
X i ) = nvar(X i ) = n(E(X
2
i ) − E
2 (X i )) = n(6 − µ
2 ).