204 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. On cherche un intervalle de confiance `
a 95 % pour µ p . Comme R p suit
une loi normale
−z 1−α/2 ≤
R p − µ p
σ p
≤ z 1−α/2 ,
alors
IC =


n
i=1
a i R i ± 1,96
n
i=1
a 2
i σ 2
i

 .
3. L’application num´ erique donne l’intervalle de confiance [0,076 ; 0,092].
8.3
1. On cherche un intervalle de confiance pour la moyenne de la baisse de
puissance de la fabrication. Par le th´ eor` eme central limite, on sait qu’approximativement
X − µ
σ/
√
n
∼ N (0,1),
o` u µ et σ
2 sont l’esp´ erance et la variance de chacun des X i . Pour un
intervalle de confiance `
a 95 %, on va donc chercher un nombre a tel que
P (−a <
X − µ
σ/
√
n
< a) = 0,95.
Par le th´ eor` eme central limite, on trouve
P (−a <
X − µ
σ/
√
n
< a) 2Φ(a) − 1 = 0,95 ⇔ a = 1,96.
De ce r´ esultat, on d´ eduit l’intervalle de confiance suivant pour µ (avec les
valeurs des param` etres de l’´ enonc´ e)
IC =
x − a
σ
√
n
; x + a
σ
√
n
= [11,56 ; 12,44] .
L’intervalle [11,56 ; 12,44] contient µ avec une probabilit´ e de 95 %.
2. On proc` ede de la mˆ eme mani` ere qu’au point 1., mais avec un intervalle
de confiance ` a 99 %. Dans ce cas, a = 2,58 et l’intervalle qui contient µ
avec une probabilit´ e de 99 % est [11,42 ; 12,58].
3. Le 2
e intervalle, qui mesure 1,16, est plus long que le premier (0,88).
Cela s’explique par le fait que la pr´ ecision diminue lorsque la certitude
augmente.