8. Inf´ erence 203
Corrig´ es
8.1
On a un ´ echantillon de taille n = 13 avec x 14,3 et on sait que σ = 4.
1. Par le th´ eor` eme central limite, on fait l’hypoth` ese que la variable al´ eatoire X suit approximativement une loi normale de param` etres (0, 1). Par
cons´ equent, on trouve l’intervalle de confiance `
a 95 % suivant
IC =
x ± z 0,975
σ
√
n
[12,1 ; 16,5].
2. Si l’intervalle est de longueur 3, alors
z 1−α/2
σ
√
n
= 1,5
et
z 1−α/2 1,35 ⇔ α 0,18.
On obtient un niveau de confiance de 82 %.
3. On aimerait que
z 0,995
σ
√
n
= 1.
Cela implique que
n = (z 0,995 σ)
2
106.
Il faut par cons´ equent 93 observations additionnelles.
8.2
1. La variable al´ eatoire R p suit une loi normale car elle est une somme de
variables al´ eatoires normales. Son esp´ erance est
E(R p ) = E
n
i=1
a i R i
=
n
i=1
a i E(R i ) =
n
i=1
a i µ i = µ p ,
et sa variance
var(R p ) = var
n
i=1
a i R i
=
n
i=1
a
2
i var(R i ) =
n
i=1
a
2
i σ
2
i = σ
2
p .
La variable al´ eatoire R p est distribu´ ee selon une loi normale de param` etres (µ p , σ
2
p ).