202 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
8.54
Soient X 1 , . . . , X n des variables al´ eatoires ind´ ependantes telle que X i ∼
N (µ, σ
2 ) avec σ
2 connu. On veut tester l’hypoth` ese nulle H 0 : µ = µ 0 contre
l’alternative H A : µ > µ 0 ` a l’aide de la statistique ¯
X. La p-valeur observ´ ee est
d´ efinie par pv = P H0 ( ¯
X > ¯
x), o` u ¯
x est la valeur observ´ ee de la statistique.
1. Expliquer pourquoi la statistique ¯
X est une bonne statistique pour tester H 0 .
2. ´
Ecrivez pv comme une fonction g(¯ x, µ 0 , σ, n) `
a l’aide de Φ(.), la fonction
de r´ epartition d’une distribution N (0, 1).
3. On consid` ere maintenant la variable al´ eatoire P V = g( ¯
X, µ 0 , σ, n). Calculer sa fonction de r´ epartition et sa densit´ e sous une alternative µ =
µ 1 (> µ 0 ).
Indication : d´ evelopper P µ1 (P V > a) = P µ1 (g( ¯
X, µ 0 , σ, n) > a) pour une
valeur de a donn´ ee.
4. Quelle est la distribution de P V quand µ 1 = µ 0 ?
8.54
Soient X 1 , . . . , X n des variables al´ eatoires ind´ ependantes telle que X i ∼
N (µ, σ
2 ) avec σ
2 connu. On veut tester l’hypoth` ese nulle H 0 : µ = µ 0 contre
l’alternative H A : µ > µ 0 ` a l’aide de la statistique ¯
X. La p-valeur observ´ ee est
d´ efinie par pv = P H0 ( ¯
X > ¯
x), o` u ¯
x est la valeur observ´ ee de la statistique.
1. Expliquer pourquoi la statistique ¯
X est une bonne statistique pour tester H 0 .
2. ´
Ecrivez pv comme une fonction g(¯ x, µ 0 , σ, n) `
a l’aide de Φ(.), la fonction
de r´ epartition d’une distribution N (0, 1).
3. On consid` ere maintenant la variable al´ eatoire P V = g( ¯
X, µ 0 , σ, n). Calculer sa fonction de r´ epartition et sa densit´ e sous une alternative µ =
µ 1 (> µ 0 ).
Indication : d´ evelopper P µ1 (P V > a) = P µ1 (g( ¯
X, µ 0 , σ, n) > a) pour une
valeur de a donn´ ee.
4. Quelle est la distribution de P V quand µ 1 = µ 0 ?