8. Inf´ erence 201
8.52
Dans le cadre de la mod´ elisation de distributions de revenu, on utilise souvent la distribution de Dagum qui est d´ efinie par la fonction de r´ epartition
suivante
F β (x) = P (X < x) =
1 +
1
x 2
−β
,
o` u x > 0 et β > 0.
1. Sur la base d’un ´ echantillon X 1 , . . . , X n de revenus, calculer l’estimateur
du maximum de vraisemblance ˆ
β pour le param` etre β.
2. Calculer l’information de Fisher de ce mod` ele et donner la distribution
de
√
n( ˆ
β − β) lorsque n → ∞.
3. On g´ en` ere ` a l’ordinateur 100 000 ´ echantillons de 16 observations suivant la
loi de Dagum avec param` etre β = 1. Pour chaque ´ echantillon, on calcule
la valeur de l’estimateur ˆ
β. Donner le nombre approxim´ e d’´ echantillons
o` u la valeur de l’estimateur se trouve dans l’intervalle [0,5, 1,5].
4. Construire un intervalle de confiance approxim´ e au degr´ e 95 % pour β.
Indication : utiliser le r´ esultat du point 2. et la distribution de
√
n(
ˆ
β
β − 1)
lorsque n → ∞.
8.53
Soient X 1 , . . . , X n un ´ echantillon de n variables al´ eatoires ind´ ependantes
qui proviennent d’une distribution dont la densit´ e est
f α (x) =
αx
α−1
si 0 < x < 1
0
s i n o n ,
o` u α > 0.
1. Calculer l’estimateur des moments ˆ
α M de α et l’´ ecrire comme une fonction
ˆ
α M = g(X).
2. En utilisant le th´ eor` eme central limite, donner la distribution approxim´ ee
de
√
n(X − µ), o` u µ = E(X).
3. Donner une approximation de la variance de ˆ
α M en utilisant le r´ esultat
√
n(g(X) − g(µ))
n→∞
∼ N
0 ,
∂g(µ)
∂µ
2
σ
2
,
o` u σ
2 est la variance de
√
n(X − µ) calcul´ ee au point 2.
4. L’estimateur ˆ
α M est-il convergent? Justifier votre r´ eponse.
5. L’estimateur ˆ
α M est-il efficace? Justifier votre r´ eponse.
6. `
A l’aide du r´ esultat du point 3., construire un intervalle de confiance
approxim´ e au degr´ e 95 % pour le param` etre α.