200 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. On dispose des donn´ ees k 1 , . . . , k n concernant le nombre d’essais effectu´ es
par chaque personne jusqu’au succ` es. Calculer l’estimateur du maximum
de vraisemblance ˆ
θ MV pour θ.
3. Donner une approximation de la variance de ˆ
θ MV .
4. Calculer l’estimateur des moments pour θ sur la base de k 1 , . . . , k n .
5. En utilisant le mod` ele 1., exprimer la probabilit´ e que plus de 2 essais
soient n´ ecessaires pour r´ eussir le test.
6. Sur la base des donn´ ees disponibles la moyenne observ´ ee du nombre d’essais est k = 3,3. Utiliser les r´ esultats obtenus aux points 2. et 5. pour
estimer la probabilit´ e que dans le futur plus de 2 essais soient n´ ecessaires
` a une personne pour r´ eussir le test.
7. Sur la base des donn´ ees k 1 , . . . , k n on souhaite tester l’hypoth` ese nulle
H 0 : θ =
1
2 contre l’alternative H A : θ =
2
3 . Un analyste propose d’utiliser
ˆ
θ MV comme statistique pour effectuer le test. S’agit-il d’un choix optimal?
Si cela n’est pas le cas, proposer une meilleure statistique.
8. Proposer une fa¸ con de calculer la valeur critique approxim´ ee du test optimal obtenu au point 7.
8.51
Un syndicat de boulangers fait une enquˆ ete sur la consommation mensuelle
de pain chez les m´ enages de plus de 2 personnes. Cette consommation, exprim´ ee
en kilos, est d´ esign´ ee par X. Cent m´ enages qui ont bien voulu se prˆ eter `
a
l’enquˆ ete sont suivis pendant 1 mois, et on note pour chacun d’entre eux la
quantit´ e totale de pain consomm´ ee. On obtient ainsi un ´ echantillon al´ eatoire
relatif `
a la variable X.
1. Pour cet ´ echantillon, on trouve une moyenne estim´ ee ¯
x = 21,5 kilos et
un ´ ecart-type estim´ e s = 1,8 kilo. Donner un intervalle de confiance au
niveau 95 % pour µ = E(X).
2. Ces donn´ ees permettent-elles de rejeter l’hypoth` ese nulle H 0 : µ = 21
contre H 1 : µ = 21 au seuil α = 5 %?
3. Sur les 100 m´ enages, 23 ont consomm´ e moins de 20 kilos de pain dans
le mois. Donner un intervalle de confiance `
a 95 % pour la proportion de
m´ enages qui consomment mensuellement moins de 20 kilos de pain.
4. Un boulanger du quartier fait une enquˆ ete analogue, mais il n’a pu s’assurer que de la coop´ eration de 11 m´ enages. Il voudrait obtenir un intervalle
de confiance pour µ = E(X) au niveau de 95 %. On suppose que sur
son ´ echantillon, il a obtenu ¯
x = 21,5 kilos et s = 1,8 kilo. Construire un
intervalle de confiance au niveau de 95 % pour µ. Comparer ce dernier
avec l’intervalle trouv´ e en 1. et discuter.
2. On dispose des donn´ ees k 1 , . . . , k n concernant le nombre d’essais effectu´ es
par chaque personne jusqu’au succ` es. Calculer l’estimateur du maximum
de vraisemblance ˆ
θ MV pour θ.
3. Donner une approximation de la variance de ˆ
θ MV .
4. Calculer l’estimateur des moments pour θ sur la base de k 1 , . . . , k n .
5. En utilisant le mod` ele 1., exprimer la probabilit´ e que plus de 2 essais
soient n´ ecessaires pour r´ eussir le test.
6. Sur la base des donn´ ees disponibles la moyenne observ´ ee du nombre d’essais est k = 3,3. Utiliser les r´ esultats obtenus aux points 2. et 5. pour
estimer la probabilit´ e que dans le futur plus de 2 essais soient n´ ecessaires
` a une personne pour r´ eussir le test.
7. Sur la base des donn´ ees k 1 , . . . , k n on souhaite tester l’hypoth` ese nulle
H 0 : θ =
1
2 contre l’alternative H A : θ =
2
3 . Un analyste propose d’utiliser
ˆ
θ MV comme statistique pour effectuer le test. S’agit-il d’un choix optimal?
Si cela n’est pas le cas, proposer une meilleure statistique.
8. Proposer une fa¸ con de calculer la valeur critique approxim´ ee du test optimal obtenu au point 7.
8.51
Un syndicat de boulangers fait une enquˆ ete sur la consommation mensuelle
de pain chez les m´ enages de plus de 2 personnes. Cette consommation, exprim´ ee
en kilos, est d´ esign´ ee par X. Cent m´ enages qui ont bien voulu se prˆ eter `
a
l’enquˆ ete sont suivis pendant 1 mois, et on note pour chacun d’entre eux la
quantit´ e totale de pain consomm´ ee. On obtient ainsi un ´ echantillon al´ eatoire
relatif `
a la variable X.
1. Pour cet ´ echantillon, on trouve une moyenne estim´ ee ¯
x = 21,5 kilos et
un ´ ecart-type estim´ e s = 1,8 kilo. Donner un intervalle de confiance au
niveau 95 % pour µ = E(X).
2. Ces donn´ ees permettent-elles de rejeter l’hypoth` ese nulle H 0 : µ = 21
contre H 1 : µ = 21 au seuil α = 5 %?
3. Sur les 100 m´ enages, 23 ont consomm´ e moins de 20 kilos de pain dans
le mois. Donner un intervalle de confiance `
a 95 % pour la proportion de
m´ enages qui consomment mensuellement moins de 20 kilos de pain.
4. Un boulanger du quartier fait une enquˆ ete analogue, mais il n’a pu s’assurer que de la coop´ eration de 11 m´ enages. Il voudrait obtenir un intervalle
de confiance pour µ = E(X) au niveau de 95 %. On suppose que sur
son ´ echantillon, il a obtenu ¯
x = 21,5 kilos et s = 1,8 kilo. Construire un
intervalle de confiance au niveau de 95 % pour µ. Comparer ce dernier
avec l’intervalle trouv´ e en 1. et discuter.