8. Inf´ erence 199
3. Les estimateurs ˆ
θ 1 , ˆ
θ 2 , ˆ
θ 3 sont-ils convergents?
4. D´ efinissons l’intervalle de confiance suivant pour λ = 1/θ
I = [a/ min(X i ) , b/ min(X i )].
Calculer le degr´ e de confiance de cet intervalle en fonction de a et de b.
Indication : montrer que Z = λ · min(X i ) est distribu´ e selon la loi exponentielle de param` etre n et utiliser ce r´ esultat.
8.49
Soient X 1 , . . . , X n des variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement
distribu´ ees selon une loi uniforme U (0 , θ). On d´ efinit les statistiques suivantes
ˆ
θ 1 = 2 ¯
X et ˆ
θ 2 = max(X 1 , . . . , X n )
1. Montrer que ˆ
θ 1 est un estimateur non biais´ e de θ.
2. Calculer l’esp´ erance de ˆ
θ 2 , puis en d´ eduire un estimateur non biais´ e de θ
que l’on notera ˆ
θ 3 .
3. Comparer l’efficacit´ e des ces 3 estimateurs du point de vue de l’erreur
quadratique moyenne.
4. Les estimateurs ˆ
θ 1 , ˆ
θ 2 , ˆ
θ 3 sont-ils consistants?
5. On consid` ere 2 candidats pour construire un intervalle de confiance pour θ
I 1 = [a ˆ
θ 2 , b ˆ
θ 2 ] et I 2 = [ ˆ
θ 2 + c , ˆ
θ 2 + d],
avec 1 ≤ a < b et 0 ≤ c < d ≤ θ.
(a) Quel est le taux de couverture de I 1 , c’est-` a-dire la probabilit´ e que
θ ∈ I 1 (en fonction de a et b)?
(b) De mˆ eme, quel est le taux de couverture de I 2 (en fonction de c
et d)? Qu’observez-vous par rapport `
a I 1 ?
(c) Si on prend b = 2a dans I 1 , comment faut-il choisir a pour que le
taux de couverture soit ´ egal `
a 95 %?
8.50
On dispose des r´ esultats d’un test auquel on a soumis n personnes pendant
les derni` eres ann´ ees. Chaque personne pouvait se pr´ esenter au test plusieurs
fois jusqu’au succ` es.
Soit θ, 0 < θ < 1, la probabilit´ e qu’une personne de cette population r´ eussisse le test lors d’un essai et X la variable al´ eatoire qui repr´ esente le nombre
d’essais ind´ ependants n´ ecessaires jusqu’au succ` es.
1. Interpr´ eter le mod` ele de probabilit´ e
P (X = k) = θ · (1 − θ)
k−1
k = 1, 2, 3, . . .
3. Les estimateurs ˆ
θ 1 , ˆ
θ 2 , ˆ
θ 3 sont-ils convergents?
4. D´ efinissons l’intervalle de confiance suivant pour λ = 1/θ
I = [a/ min(X i ) , b/ min(X i )].
Calculer le degr´ e de confiance de cet intervalle en fonction de a et de b.
Indication : montrer que Z = λ · min(X i ) est distribu´ e selon la loi exponentielle de param` etre n et utiliser ce r´ esultat.
8.49
Soient X 1 , . . . , X n des variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement
distribu´ ees selon une loi uniforme U (0 , θ). On d´ efinit les statistiques suivantes
ˆ
θ 1 = 2 ¯
X et ˆ
θ 2 = max(X 1 , . . . , X n )
1. Montrer que ˆ
θ 1 est un estimateur non biais´ e de θ.
2. Calculer l’esp´ erance de ˆ
θ 2 , puis en d´ eduire un estimateur non biais´ e de θ
que l’on notera ˆ
θ 3 .
3. Comparer l’efficacit´ e des ces 3 estimateurs du point de vue de l’erreur
quadratique moyenne.
4. Les estimateurs ˆ
θ 1 , ˆ
θ 2 , ˆ
θ 3 sont-ils consistants?
5. On consid` ere 2 candidats pour construire un intervalle de confiance pour θ
I 1 = [a ˆ
θ 2 , b ˆ
θ 2 ] et I 2 = [ ˆ
θ 2 + c , ˆ
θ 2 + d],
avec 1 ≤ a < b et 0 ≤ c < d ≤ θ.
(a) Quel est le taux de couverture de I 1 , c’est-` a-dire la probabilit´ e que
θ ∈ I 1 (en fonction de a et b)?
(b) De mˆ eme, quel est le taux de couverture de I 2 (en fonction de c
et d)? Qu’observez-vous par rapport `
a I 1 ?
(c) Si on prend b = 2a dans I 1 , comment faut-il choisir a pour que le
taux de couverture soit ´ egal `
a 95 %?
8.50
On dispose des r´ esultats d’un test auquel on a soumis n personnes pendant
les derni` eres ann´ ees. Chaque personne pouvait se pr´ esenter au test plusieurs
fois jusqu’au succ` es.
Soit θ, 0 < θ < 1, la probabilit´ e qu’une personne de cette population r´ eussisse le test lors d’un essai et X la variable al´ eatoire qui repr´ esente le nombre
d’essais ind´ ependants n´ ecessaires jusqu’au succ` es.
1. Interpr´ eter le mod` ele de probabilit´ e
P (X = k) = θ · (1 − θ)
k−1
k = 1, 2, 3, . . .