198 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
8.47
Pour mod´ eliser les valeurs extrˆ emes d’une action, on peut utiliser la loi de
Gumbel. Sa fonction de r´ epartition est
F (x) = exp
−exp
−
x − ξ
√
θ
.
Soit X 1 , . . . , X n un ´ echantillon d’observations ind´ ependantes telles que chaque
X i ∼ F .
1. Calculer l’estimateur des moments pour ξ et θ.
Indication : E(X i ) = ξ + γ
√
θ et V (X i ) =
π
2
6 θ, avec γ = 0,57722.
2. Les estimateurs sont-ils convergent?
3. L’estimateur des moments pour θ est-il biais´ e?
Pour les questions suivantes, on suppose que θ = 6.
4. En utilisant l’estimateur des moments pour ξ, construire un intervalle de
confiance au degr´ e de confiance (1 − α) pour le param` etre ξ.
5. Exprimer le 0,9-quantile de la distribution de Gumbel en fonction des param` etres ξ et θ = 6, et trouver un estimateur de ce quantile en rempla¸ cant
ξ par son estimateur des moments.
6. En utilisant 5., d´ eriver un intervalle de confiance au degr´ e de confiance
(1 − α) pour le 0,9-quantile de cette distribution.
7. On dispose de 20 observations historiques sur les valeurs extrˆ emes de
l’action entre 1978 et 2000. La moyenne de ces valeurs est 372,05 e.
Calculer la valeur estim´ ee du 0,9-quantile.
8. L’ann´ ee pass´ ee, on a observ´ e une valeur maximale de l’action de 374,80 e.
Au vu des donn´ ees disponibles, peut-on consid´ erer le niveau maximal
atteint par l’action comme exceptionnel?
8.48
Soit X 1 , . . . , X n un ´ echantillon de n variables al´ eatoires qui proviennent
d’une distribution exponentielle avec densit´ e
f (x) =
1
θ
exp
−
x
θ
pour x ≥ 0 et avec θ > 0. On consid` ere les 3 estimateurs suivants de θ :
ˆ
θ 1 =
n
i=1 X i /n, ˆ
θ 2 =
n
i=1 X i /(n + 1), et ˆ
θ 3 = n · min(X 1 , . . . ,X n ).
1. Calculer l’esp´ erance et la variance de ˆ
θ 1 et de ˆ
θ 2 ainsi que leur erreur
quadratique moyenne.
2. De mˆ eme pour ˆ
θ 3 . Comparer l’efficacit´ e de ces 3 estimateurs du point de
vue de l’erreur quadratique moyenne.
Indication : trouver la distribution de Y = min(X 1 , . . . , X n ), c’est-` a-dire
calculer P (Y < y). De quelle loi s’agit-il?
8.47
Pour mod´ eliser les valeurs extrˆ emes d’une action, on peut utiliser la loi de
Gumbel. Sa fonction de r´ epartition est
F (x) = exp
−exp
−
x − ξ
√
θ
.
Soit X 1 , . . . , X n un ´ echantillon d’observations ind´ ependantes telles que chaque
X i ∼ F .
1. Calculer l’estimateur des moments pour ξ et θ.
Indication : E(X i ) = ξ + γ
√
θ et V (X i ) =
π
2
6 θ, avec γ = 0,57722.
2. Les estimateurs sont-ils convergent?
3. L’estimateur des moments pour θ est-il biais´ e?
Pour les questions suivantes, on suppose que θ = 6.
4. En utilisant l’estimateur des moments pour ξ, construire un intervalle de
confiance au degr´ e de confiance (1 − α) pour le param` etre ξ.
5. Exprimer le 0,9-quantile de la distribution de Gumbel en fonction des param` etres ξ et θ = 6, et trouver un estimateur de ce quantile en rempla¸ cant
ξ par son estimateur des moments.
6. En utilisant 5., d´ eriver un intervalle de confiance au degr´ e de confiance
(1 − α) pour le 0,9-quantile de cette distribution.
7. On dispose de 20 observations historiques sur les valeurs extrˆ emes de
l’action entre 1978 et 2000. La moyenne de ces valeurs est 372,05 e.
Calculer la valeur estim´ ee du 0,9-quantile.
8. L’ann´ ee pass´ ee, on a observ´ e une valeur maximale de l’action de 374,80 e.
Au vu des donn´ ees disponibles, peut-on consid´ erer le niveau maximal
atteint par l’action comme exceptionnel?
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Soit X 1 , . . . , X n un ´ echantillon de n variables al´ eatoires qui proviennent
d’une distribution exponentielle avec densit´ e
f (x) =
1
θ
exp
−
x
θ
pour x ≥ 0 et avec θ > 0. On consid` ere les 3 estimateurs suivants de θ :
ˆ
θ 1 =
n
i=1 X i /n, ˆ
θ 2 =
n
i=1 X i /(n + 1), et ˆ
θ 3 = n · min(X 1 , . . . ,X n ).
1. Calculer l’esp´ erance et la variance de ˆ
θ 1 et de ˆ
θ 2 ainsi que leur erreur
quadratique moyenne.
2. De mˆ eme pour ˆ
θ 3 . Comparer l’efficacit´ e de ces 3 estimateurs du point de
vue de l’erreur quadratique moyenne.
Indication : trouver la distribution de Y = min(X 1 , . . . , X n ), c’est-` a-dire
calculer P (Y < y). De quelle loi s’agit-il?