8. Inf´ erence 195
R´ egression lin´ eaire
8.42
Soit le mod` ele de r´ egression
Y i = θx
2
i + i ,
pour i = 1, . . . , n. On fait l’hypoth` ese que les erreurs i sont ind´ ependantes et
distribu´ ees selon la loi normale avec esp´ erance 0 et variance σ
2 .
1. Donner la distribution de Y i .
2. Calculer l’estimateur des moindres carr´ es de θ, son biais et sa variance.
3. Calculer l’information de Fisher ˜
J(θ) par rapport `
a la distribution conjointe de (Y 1 , . . . , Y n ) et en d´ eduire la borne de Cram´ er-Rao pour des
estimateur sans biais.
4. Donner l’efficacit´ e de l’estimateur des moindres carr´ es.
5. Donner un intervalle de confiance au degr´ e (1 − α) pour θ bas´ e sur la
statistique (
n
i=1 x
2
i Y i )/
n
i=1 x
4
i .
8.43
On consid` ere le mod` ele de r´ egression simple
Y i = α + βx i + i , i = 1, . . . ,n
o` u 1 , . . . ,, n sont n variables al´ eatoires telles que i ∼ N (0, σ
2 ).
1. Construire des intervalles de confiance pour α et β.
Indication : utiliser l’exercice 7.2.
2. Tester l’hypoth` ese H 0 : β = 0.
8.44
Est-ce qu’il y a un lien entre l’intelligence et la taille du cerveau ? Une
´ etude de Willerman et al. (1991) a ´ etudi´ e cette question en mesurant le QI
(Performance IQ de Wechsler (1981)) et la taille du cerveau (TC, mesur´ ee par
r´ esonance magn´ etique) de 40 individus. On suppose le mod` ele de r´ egression
suivant
QI i = α + βTC i + i ,
pour i = 1, . . . , 40, o` u i est le terme d’erreur tel que E( i ) = 0 et V ar( i ) = σ
2 .
Sur la figure 8.2 sont repr´ esent´ ees les donn´ ees.
En sachant que l’estimation par la m´ ethode des moindres carr´ es donne
ˆ
α MC = 1,74, ˆ
β MC = 0,00012 et ˆ
σ = 20,99, veuillez r´ epondre aux questions
suivantes.
1. Quelle est la valeur estim´ ee du QI pour un individu pour lequel TC =
910 000?
R´ egression lin´ eaire
8.42
Soit le mod` ele de r´ egression
Y i = θx
2
i + i ,
pour i = 1, . . . , n. On fait l’hypoth` ese que les erreurs i sont ind´ ependantes et
distribu´ ees selon la loi normale avec esp´ erance 0 et variance σ
2 .
1. Donner la distribution de Y i .
2. Calculer l’estimateur des moindres carr´ es de θ, son biais et sa variance.
3. Calculer l’information de Fisher ˜
J(θ) par rapport `
a la distribution conjointe de (Y 1 , . . . , Y n ) et en d´ eduire la borne de Cram´ er-Rao pour des
estimateur sans biais.
4. Donner l’efficacit´ e de l’estimateur des moindres carr´ es.
5. Donner un intervalle de confiance au degr´ e (1 − α) pour θ bas´ e sur la
statistique (
n
i=1 x
2
i Y i )/
n
i=1 x
4
i .
8.43
On consid` ere le mod` ele de r´ egression simple
Y i = α + βx i + i , i = 1, . . . ,n
o` u 1 , . . . ,, n sont n variables al´ eatoires telles que i ∼ N (0, σ
2 ).
1. Construire des intervalles de confiance pour α et β.
Indication : utiliser l’exercice 7.2.
2. Tester l’hypoth` ese H 0 : β = 0.
8.44
Est-ce qu’il y a un lien entre l’intelligence et la taille du cerveau ? Une
´ etude de Willerman et al. (1991) a ´ etudi´ e cette question en mesurant le QI
(Performance IQ de Wechsler (1981)) et la taille du cerveau (TC, mesur´ ee par
r´ esonance magn´ etique) de 40 individus. On suppose le mod` ele de r´ egression
suivant
QI i = α + βTC i + i ,
pour i = 1, . . . , 40, o` u i est le terme d’erreur tel que E( i ) = 0 et V ar( i ) = σ
2 .
Sur la figure 8.2 sont repr´ esent´ ees les donn´ ees.
En sachant que l’estimation par la m´ ethode des moindres carr´ es donne
ˆ
α MC = 1,74, ˆ
β MC = 0,00012 et ˆ
σ = 20,99, veuillez r´ epondre aux questions
suivantes.
1. Quelle est la valeur estim´ ee du QI pour un individu pour lequel TC =
910 000?