12 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
A
C
B
Y
X
Z
W
Fig. 1.1 – Diagramme de l’exercice 1.7.
1.7
Soient 3 ´ ev´ enements A, B et C.
1. Dans le dessin des ensembles de la figure 1.1, W , X, Y et Z sont des
surfaces qui repr´ esentent P (A ∩ B) par W + X, P (A ∩ C) par X + Y et
P (B ∩ C) par X + Z.
Pour le calcul de P (A ∪ B ∪ C), on commence par additionner les probabilit´ es P (A), P (B) et P (C). En proc´ edant de la sorte, on a compt´ e une
fois de trop les aires W + X, Y + X et Z + X qu’il faut donc soustraire.
Finalement, la surface X a ´ et´ e additionn´ ee 3 fois, puis soustraite 3 fois
´ egalement. Pour arriver au r´ esultat final, il faut, par cons´ equent, l’ajouter
encore une fois. Ainsi
P (A ∪ B ∪ C) =
= P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)
+P (A ∩ B ∩ C).
2. Par les axiomes de la th´ eorie des probabilit´ es, on obtient le mˆ eme r´ esultat
P (A ∪ B ∪ C) =
= P (A ∪ B) + P (C) − P ((A ∪ B) ∩ C)
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B) + P (C) − P ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))
= P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)
+P (A ∩ B ∩ C).