8. Inf´ erence 189
8.25
On d´ esire tester si la dur´ ee de vie moyenne d’un tube ´ electronique est ´ egale
` a 1 600 heures ou si elle est plutˆ ot inf´ erieure `
a cette valeur. Les observations
sur un ´ echantillon de taille 16 suivent une loi normale avec X = 1 590 heures
et ˆ
σ = s = 30 heures.
1. Donner les hypoth` eses H 0 et H A .
2. Quelle statistique de test utilisez-vous?
3. Peut-on rejeter H 0 ` a un seuil de 1 %?
4. Calculer l’erreur de 2
e esp` ece et la puissance du test au seuil de 1 % pour
µ = 1 570.
8.26
Soient X 1 , . . . , X n provenant d’une loi Gamma (θ, α). Donner le test le plus
puissant pour tester :
1. H 0 : θ = θ 0 contre H A : θ = θ 1 ;
2. H 0 : θ = θ 0 contre H A : θ > θ 0 .
8.27
La dur´ ee de vie des ampoules servant `
a l’illumination des auditoriums est
mod´ elis´ ee par une loi exponentielle E(λ) avec densit´ e
f λ (x) =
λ exp(−λx) x > 0
0
s i n o n .
Pour optimiser le service d’entretien (coupures budg´ etaires obligent), on veut
savoir si la dur´ ee de vie de ces ampoules est de 30 jours. La service d’entretien
proc` ede ` a des mesures sur un ´ echantillon de taille n = 400 pour lequel il observe
¯
x = 27,6. Avec ces donn´ ees peut-on infirmer que la dur´ ee est de 30 jours?
Pour un seuil α = 5 % fix´ e, calculer la puissance du test pour les valeurs
suivantes de l’alternative : dur´ ee de vie de 25, 28 et 35 jours.
8.28
Le point de fusion de 16 ´ echantillons d’une marque d’huile v´ eg´ etale a ´ et´ e
d´ etermin´ e et on a obtenu x = 94,32. On suppose que la distribution de ce point
de fusion suit une loi normale avec esp´ erance µ et ´ ecart-type σ = 1,2.
1. Tester H 0 : µ = 95 contre H 1 : µ < 95 avec un seuil α = 0,01.
2. Si la vraie valeur de µ est 94, quelle est la valeur de la puissance pour le
test d´ efini en 1.?
8.25
On d´ esire tester si la dur´ ee de vie moyenne d’un tube ´ electronique est ´ egale
` a 1 600 heures ou si elle est plutˆ ot inf´ erieure `
a cette valeur. Les observations
sur un ´ echantillon de taille 16 suivent une loi normale avec X = 1 590 heures
et ˆ
σ = s = 30 heures.
1. Donner les hypoth` eses H 0 et H A .
2. Quelle statistique de test utilisez-vous?
3. Peut-on rejeter H 0 ` a un seuil de 1 %?
4. Calculer l’erreur de 2
e esp` ece et la puissance du test au seuil de 1 % pour
µ = 1 570.
8.26
Soient X 1 , . . . , X n provenant d’une loi Gamma (θ, α). Donner le test le plus
puissant pour tester :
1. H 0 : θ = θ 0 contre H A : θ = θ 1 ;
2. H 0 : θ = θ 0 contre H A : θ > θ 0 .
8.27
La dur´ ee de vie des ampoules servant `
a l’illumination des auditoriums est
mod´ elis´ ee par une loi exponentielle E(λ) avec densit´ e
f λ (x) =
λ exp(−λx) x > 0
0
s i n o n .
Pour optimiser le service d’entretien (coupures budg´ etaires obligent), on veut
savoir si la dur´ ee de vie de ces ampoules est de 30 jours. La service d’entretien
proc` ede ` a des mesures sur un ´ echantillon de taille n = 400 pour lequel il observe
¯
x = 27,6. Avec ces donn´ ees peut-on infirmer que la dur´ ee est de 30 jours?
Pour un seuil α = 5 % fix´ e, calculer la puissance du test pour les valeurs
suivantes de l’alternative : dur´ ee de vie de 25, 28 et 35 jours.
8.28
Le point de fusion de 16 ´ echantillons d’une marque d’huile v´ eg´ etale a ´ et´ e
d´ etermin´ e et on a obtenu x = 94,32. On suppose que la distribution de ce point
de fusion suit une loi normale avec esp´ erance µ et ´ ecart-type σ = 1,2.
1. Tester H 0 : µ = 95 contre H 1 : µ < 95 avec un seuil α = 0,01.
2. Si la vraie valeur de µ est 94, quelle est la valeur de la puissance pour le
test d´ efini en 1.?