188 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
contenu d’une bouteille est normale avec ´ ecart-type ´ egal `
a 3 mL. Un ´ etudiant
qui soup¸ conne que les bouteilles sont moins remplies qu’elles le doivent, mesure
le contenu de 6 bouteilles et obtient les valeurs
299,4 297,7 301,0 298,9 300,2 297,0.
Est-ce qu’on peut affirmer que le contenu des bouteilles est inf´ erieur ` a 300 mL?
Un calcul de puissance nous permet de d´ eterminer ` a partir de quelle quantit´ e de liquide manquant le test arrive `
a d´ etecter le mauvais remplissage. Pour
cela on suppose un niveau de test α = 5 %.
1. D´ eterminer la puissance du test par rapport `
a l’alternative µ = 299.
2. D´ eterminer la puissance du test par rapport `
a l’alternative µ = 295.
3. Est-ce que la puissance par rapport `
a l’alternative µ = 290 va ˆ etre sup´ erieure ou inf´ erieure `
a celle trouv´ ee en 2. ? Expliquer les raisons de ce
comportement.
8.23
Deux types de pi` eces de monnaie sont produites dans une fabrique : des
pi` eces homog` enes et des pi` eces mal ´ equilibr´ ees, lesquelles montrent la face pile
dans 55 % des cas. Supposons que nous poss´ edons une pi` ece dont nous ignorons
la provenance. Pour pouvoir d´ eterminer de quelle pi` ece il s’agit, nous effectuons
le test suivant : la pi` ece est lanc´ ee 1 000 fois ; si l’on obtient pile 525 fois ou plus,
alors on conclut que c’est une pi` ece mal ´ equilibr´ ee, tandis que si l’on obtient
pile moins de 525 fois, alors on conclut que c’est une pi` ece homog` ene.
1. Si la pi` ece est r´ eellement homog` ene, quelle est la probabilit´ e que l’on
aboutisse `
a une conclusion fausse?
2. Si la pi` ece est r´ eellement mal ´ equilibr´ ee, quelle est la probabilit´ e que l’on
aboutisse `
a une conclusion fausse?
8.24
On fait passer un test d’aptitude ` a 500 ´ etudiants genevois. Les r´ esultats
ind´ ependants de ces 500 ´ etudiants donnent une moyenne de x = 461.
1. En supposant que l’´ ecart-type de la population est connu et ´ egal `
a 100,
peut-on dire que l’esp´ erance des r´ esultats de tous les ´ etudiants de Gen` eve
n’est pas sup´ erieure `
a 450?
2. Est-ce que le test utilis´ e au seuil de 5 % est suffisamment puissant pour
d´ etecter une augmentation de 10 points dans le r´ esultat des ´ etudiants?
contenu d’une bouteille est normale avec ´ ecart-type ´ egal `
a 3 mL. Un ´ etudiant
qui soup¸ conne que les bouteilles sont moins remplies qu’elles le doivent, mesure
le contenu de 6 bouteilles et obtient les valeurs
299,4 297,7 301,0 298,9 300,2 297,0.
Est-ce qu’on peut affirmer que le contenu des bouteilles est inf´ erieur ` a 300 mL?
Un calcul de puissance nous permet de d´ eterminer ` a partir de quelle quantit´ e de liquide manquant le test arrive `
a d´ etecter le mauvais remplissage. Pour
cela on suppose un niveau de test α = 5 %.
1. D´ eterminer la puissance du test par rapport `
a l’alternative µ = 299.
2. D´ eterminer la puissance du test par rapport `
a l’alternative µ = 295.
3. Est-ce que la puissance par rapport `
a l’alternative µ = 290 va ˆ etre sup´ erieure ou inf´ erieure `
a celle trouv´ ee en 2. ? Expliquer les raisons de ce
comportement.
8.23
Deux types de pi` eces de monnaie sont produites dans une fabrique : des
pi` eces homog` enes et des pi` eces mal ´ equilibr´ ees, lesquelles montrent la face pile
dans 55 % des cas. Supposons que nous poss´ edons une pi` ece dont nous ignorons
la provenance. Pour pouvoir d´ eterminer de quelle pi` ece il s’agit, nous effectuons
le test suivant : la pi` ece est lanc´ ee 1 000 fois ; si l’on obtient pile 525 fois ou plus,
alors on conclut que c’est une pi` ece mal ´ equilibr´ ee, tandis que si l’on obtient
pile moins de 525 fois, alors on conclut que c’est une pi` ece homog` ene.
1. Si la pi` ece est r´ eellement homog` ene, quelle est la probabilit´ e que l’on
aboutisse `
a une conclusion fausse?
2. Si la pi` ece est r´ eellement mal ´ equilibr´ ee, quelle est la probabilit´ e que l’on
aboutisse `
a une conclusion fausse?
8.24
On fait passer un test d’aptitude ` a 500 ´ etudiants genevois. Les r´ esultats
ind´ ependants de ces 500 ´ etudiants donnent une moyenne de x = 461.
1. En supposant que l’´ ecart-type de la population est connu et ´ egal `
a 100,
peut-on dire que l’esp´ erance des r´ esultats de tous les ´ etudiants de Gen` eve
n’est pas sup´ erieure `
a 450?
2. Est-ce que le test utilis´ e au seuil de 5 % est suffisamment puissant pour
d´ etecter une augmentation de 10 points dans le r´ esultat des ´ etudiants?