186 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
(On peut consid´ erer que ces mesures sont ind´ ependantes et proviennent de la
loi normale.) On veut tester l’hypoth` ese : « les athl` etes allemandes ne sont pas
dop´ ees. »En sachant que chez une femme la quantit´ e moyenne d’androg` enes est
de µ = 3,1, le docteur Fischbach a-t-il rejet´ e l’hypoth` ese?
8.17
Soient 20 variables al´ eatoires X 1 , . . . , X 20 ind´ ependantes et identiquement
distribu´ ees selon une loi N (µ, σ
2 ). On veut tester l’hypoth` ese H 0 : σ
2 = σ
2
0 et
pour cela on utilise
ˆ
σ
2 =
1
n − 1
n
i=1
(X i − ¯
X)
2 .
1. Quelle est la distribution de
1
σ 2
n
i=1 (X i − ¯
X)
2 sous H 0 ?
2. Calculer la valeur critique k α pour un test unilat´ eral (H 1 : σ
2 > σ
2
0 ) au
seuil de 5 %.
8.18
Douze paires d’agneaux jumeaux sont s´ electionn´ es pour comparer 2 r´ egimes
I et II ; dans chaque paire les agneaux ont ´ et´ e nourris avec des r´ egimes diff´ erents.
Les poids des agneaux apr` es 8 mois sont les suivants
paire
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
I
86
96
82 103 91 88
94
90
97
87
97 105
II
106 118 106 91 96 102 100 100 108 105 118 93
En admettant qu’` a la base les 12 paires sont semblables et en consid´ erant
un mod` ele normal, tester H 0 : « les r´ egimes I et II sont ´ equivalents » contre H 1 :
« le r´ egime I est diff´ erent du r´ egime II. »
8.19
Les teneurs en azote de 30 ´ echantillons d’un mˆ eme terrain ont ´ et´ e mesur´ ees
par 2 m´ ethodes d’analyse diff´ erentes : 15 ´ echantillons par la m´ ethode A et 15
autres par la m´ ethode B. Sur la base des r´ esultats suivants et en consid´ erant un
mod` ele normal, peut-on admettre, au seuil de 5 %, que les 2 m´ ethodes donnent
en moyenne des r´ esultats analogues?
– m´ ethode A
3,51 3,01 3,33 3,31 3,54 3,17 3,50 2,72 3,24 3,48 1,97 2,85 2,51 2,93 1,83
– m´ ethode B
2,34 3,12 3,30 2,15 3,13 2,84 2,97 3,65 3,89 3,23 2,46 2,70 2,44 2,41 2,85
(On peut consid´ erer que ces mesures sont ind´ ependantes et proviennent de la
loi normale.) On veut tester l’hypoth` ese : « les athl` etes allemandes ne sont pas
dop´ ees. »En sachant que chez une femme la quantit´ e moyenne d’androg` enes est
de µ = 3,1, le docteur Fischbach a-t-il rejet´ e l’hypoth` ese?
8.17
Soient 20 variables al´ eatoires X 1 , . . . , X 20 ind´ ependantes et identiquement
distribu´ ees selon une loi N (µ, σ
2 ). On veut tester l’hypoth` ese H 0 : σ
2 = σ
2
0 et
pour cela on utilise
ˆ
σ
2 =
1
n − 1
n
i=1
(X i − ¯
X)
2 .
1. Quelle est la distribution de
1
σ 2
n
i=1 (X i − ¯
X)
2 sous H 0 ?
2. Calculer la valeur critique k α pour un test unilat´ eral (H 1 : σ
2 > σ
2
0 ) au
seuil de 5 %.
8.18
Douze paires d’agneaux jumeaux sont s´ electionn´ es pour comparer 2 r´ egimes
I et II ; dans chaque paire les agneaux ont ´ et´ e nourris avec des r´ egimes diff´ erents.
Les poids des agneaux apr` es 8 mois sont les suivants
paire
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
I
86
96
82 103 91 88
94
90
97
87
97 105
II
106 118 106 91 96 102 100 100 108 105 118 93
En admettant qu’` a la base les 12 paires sont semblables et en consid´ erant
un mod` ele normal, tester H 0 : « les r´ egimes I et II sont ´ equivalents » contre H 1 :
« le r´ egime I est diff´ erent du r´ egime II. »
8.19
Les teneurs en azote de 30 ´ echantillons d’un mˆ eme terrain ont ´ et´ e mesur´ ees
par 2 m´ ethodes d’analyse diff´ erentes : 15 ´ echantillons par la m´ ethode A et 15
autres par la m´ ethode B. Sur la base des r´ esultats suivants et en consid´ erant un
mod` ele normal, peut-on admettre, au seuil de 5 %, que les 2 m´ ethodes donnent
en moyenne des r´ esultats analogues?
– m´ ethode A
3,51 3,01 3,33 3,31 3,54 3,17 3,50 2,72 3,24 3,48 1,97 2,85 2,51 2,93 1,83
– m´ ethode B
2,34 3,12 3,30 2,15 3,13 2,84 2,97 3,65 3,89 3,23 2,46 2,70 2,44 2,41 2,85