184 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
1. Trouver l’estimateur des moments de θ.
2. Construire un intervalle de confiance approximatif au seuil de confiance
de 95 % pour θ bas´ e sur la moyenne des observations.
Indication : la distribution de X i est une loi Gamma (3, θ).
8.11
Un biochimiste ´ etudie un type de moisissure qui attaque les cultures de bl´ e.
La toxine contenue dans cette moisissure est obtenue sous forme d’une solution
organique. On mesure la quantit´ e de substance par gramme de solution. Sur
9 extraits on a obtenu les mesures suivantes exprim´ ees en milligrammes
1,2 0,8 0,6 1,1 1,2 0,9 1,5 0,9 1,0.
On suppose que l’´ ecart-type est ´ egal `
a σ = 0,3.
1. Calculer la moyenne de cet ´ echantillon.
2. D´ eterminer un intervalle de confiance `
a 95 % pour l’esp´ erance de la quantit´ e de substance toxique par gramme de solution.
3. Le biochimiste trouve que l’intervalle obtenu n’est pas satisfaisant car il
est trop long. Que doit-il faire pour obtenir une estimation plus pr´ ecise?
Concepts de base sur les tests
8.12
Les situations suivantes requi` erent un test d’hypoth` ese pour l’esp´ erance µ
d’une population. On suppose dans les 2 cas que les donn´ ees proviennent d’une
loi N (µ, σ
2 ), avec σ
2 connu.
– Un certain type d’exp´ erience sur les rats mesure le temps qu’un rat met
pour sortir d’un labyrinthe. Pour un certain type de labyrinthe le temps
moyen est de 18 secondes. Un chercheur soup¸ conne qu’un bruit tr` es fort
aura comme cons´ equence de faire diminuer cette dur´ ee. Il mesure le temps
mis par 10 rats pour sortir du labyrinthe dans ces nouvelles conditions
(on suppose que σ
2 = 2,25).
16,0 19,2 16,9 18,5 17,2 15,5 18,9 14,3 17,3 17,5
– La surface moyenne de plusieurs appartements d’un nouveau complexe
r´ esidentiel est annonc´ ee par le propri´ etaire comme ´ etant de 100 m` etres
carr´ es. La g´ erance charg´ ee de la vente de ces locaux pense que les appartements sont plus petits. Elle envoie son ing´ enieur pour mesurer la
surface d’un ´ echantillon de ces appartements (σ
2 = 25).
96 92 100 99 103 101 96 109 106 94 95 100 109 98
1. Trouver l’estimateur des moments de θ.
2. Construire un intervalle de confiance approximatif au seuil de confiance
de 95 % pour θ bas´ e sur la moyenne des observations.
Indication : la distribution de X i est une loi Gamma (3, θ).
8.11
Un biochimiste ´ etudie un type de moisissure qui attaque les cultures de bl´ e.
La toxine contenue dans cette moisissure est obtenue sous forme d’une solution
organique. On mesure la quantit´ e de substance par gramme de solution. Sur
9 extraits on a obtenu les mesures suivantes exprim´ ees en milligrammes
1,2 0,8 0,6 1,1 1,2 0,9 1,5 0,9 1,0.
On suppose que l’´ ecart-type est ´ egal `
a σ = 0,3.
1. Calculer la moyenne de cet ´ echantillon.
2. D´ eterminer un intervalle de confiance `
a 95 % pour l’esp´ erance de la quantit´ e de substance toxique par gramme de solution.
3. Le biochimiste trouve que l’intervalle obtenu n’est pas satisfaisant car il
est trop long. Que doit-il faire pour obtenir une estimation plus pr´ ecise?
Concepts de base sur les tests
8.12
Les situations suivantes requi` erent un test d’hypoth` ese pour l’esp´ erance µ
d’une population. On suppose dans les 2 cas que les donn´ ees proviennent d’une
loi N (µ, σ
2 ), avec σ
2 connu.
– Un certain type d’exp´ erience sur les rats mesure le temps qu’un rat met
pour sortir d’un labyrinthe. Pour un certain type de labyrinthe le temps
moyen est de 18 secondes. Un chercheur soup¸ conne qu’un bruit tr` es fort
aura comme cons´ equence de faire diminuer cette dur´ ee. Il mesure le temps
mis par 10 rats pour sortir du labyrinthe dans ces nouvelles conditions
(on suppose que σ
2 = 2,25).
16,0 19,2 16,9 18,5 17,2 15,5 18,9 14,3 17,3 17,5
– La surface moyenne de plusieurs appartements d’un nouveau complexe
r´ esidentiel est annonc´ ee par le propri´ etaire comme ´ etant de 100 m` etres
carr´ es. La g´ erance charg´ ee de la vente de ces locaux pense que les appartements sont plus petits. Elle envoie son ing´ enieur pour mesurer la
surface d’un ´ echantillon de ces appartements (σ
2 = 25).
96 92 100 99 103 101 96 109 106 94 95 100 109 98