8. Inf´ erence 183
8.7
On simule `
a l’ordinateur 1 000 ´ echantillons de taille 100 `
a partir de la loi
N (5, 1). Pour chaque ´ echantillon on calcule l’intervalle
I = [ ¯
Y − 0,1 ; ¯
Y + 0,1],
o` u ¯
Y est la moyenne de l’´ echantillon.
Approximativement combien d’intervalles contiendront la valeur 5? Justifiez
votre r´ eponse.
8.8
Soient Y 1 , . . . , Y n des variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement
distribu´ ees suivant une loi normale d’esp´ erance µ et de variance 1. Soit
[ ¯
Y − b 1 /
√
n; ¯
Y + b 2 /
√
n]
un intervalle de confiance pour µ, o` u b 1 et b 2 sont des constantes positives.
1. Exprimer le degr´ e de confiance de cet intervalle en fonction de b 1 et b 2 .
2. Sous la contrainte d’un degr´ e de confiance fix´ e ` a 90 %, quelles sont les
valeurs b 1 et b 2 qui minimisent la longueur de l’intervalle?
8.9
Soient X 1 , . . . , X n des variables al´ eatoires ind´ ependantes provenant d’une
distribution uniforme sur l’intervalle (kθ , (k + 1)θ), o` u k est une constante fix´ ee
d’avance. La fonction de densit´ e de chaque X i est
f θ (x) =
1
θ
si kθ ≤ x ≤ (k + 1)θ
0 sinon.
1. Calculez ˆ
θ M l’estimateur des moments pour θ. Est-il consistant?
2. Donner l’erreur carr´ ee moyenne ECM( ˆ
θ M , θ).
3. Quelle est la distribution approximative (n grand) de ˆ
θ M ?
4. Construire un intervalle de confiance (approximatif) pour θ au degr´ e de
confiance de 95 %.
5. Que peut-on dire de la longueur de cet intervalle lorsque k augmente?
8.10
Soient X 1 , . . . , X n des observations ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees selon une distribution dont la densit´ e est
f θ (x) =
θ
3
2
x
2 e
−θx , θ > 0, x ≥ 0.
8.7
On simule `
a l’ordinateur 1 000 ´ echantillons de taille 100 `
a partir de la loi
N (5, 1). Pour chaque ´ echantillon on calcule l’intervalle
I = [ ¯
Y − 0,1 ; ¯
Y + 0,1],
o` u ¯
Y est la moyenne de l’´ echantillon.
Approximativement combien d’intervalles contiendront la valeur 5? Justifiez
votre r´ eponse.
8.8
Soient Y 1 , . . . , Y n des variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement
distribu´ ees suivant une loi normale d’esp´ erance µ et de variance 1. Soit
[ ¯
Y − b 1 /
√
n; ¯
Y + b 2 /
√
n]
un intervalle de confiance pour µ, o` u b 1 et b 2 sont des constantes positives.
1. Exprimer le degr´ e de confiance de cet intervalle en fonction de b 1 et b 2 .
2. Sous la contrainte d’un degr´ e de confiance fix´ e ` a 90 %, quelles sont les
valeurs b 1 et b 2 qui minimisent la longueur de l’intervalle?
8.9
Soient X 1 , . . . , X n des variables al´ eatoires ind´ ependantes provenant d’une
distribution uniforme sur l’intervalle (kθ , (k + 1)θ), o` u k est une constante fix´ ee
d’avance. La fonction de densit´ e de chaque X i est
f θ (x) =
1
θ
si kθ ≤ x ≤ (k + 1)θ
0 sinon.
1. Calculez ˆ
θ M l’estimateur des moments pour θ. Est-il consistant?
2. Donner l’erreur carr´ ee moyenne ECM( ˆ
θ M , θ).
3. Quelle est la distribution approximative (n grand) de ˆ
θ M ?
4. Construire un intervalle de confiance (approximatif) pour θ au degr´ e de
confiance de 95 %.
5. Que peut-on dire de la longueur de cet intervalle lorsque k augmente?
8.10
Soient X 1 , . . . , X n des observations ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees selon une distribution dont la densit´ e est
f θ (x) =
θ
3
2
x
2 e
−θx , θ > 0, x ≥ 0.