182 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. Recalculer l’intervalle pour un niveau de confiance plus ´ elev´ e, notamment
99 %.
3. V´ erifier que l’intervalle obtenu en 2. est plus large que celui obtenu en 1.
Expliquer ce fait.
8.4
On voudrait estimer la vitesse moyenne µ ` a laquelle est parcouru le contournement de Gen` eve. Les variables al´ eatoires X 1 , . . . , X n repr´ esentent les mesures
effectu´ ees sur un ´ echantillon pris uniquement parmi les hommes. On suppose
qu’elles proviennent d’une loi normale d’esp´ erance inconnue µ et de variance
connue σ
2
H . En deuxi` eme lieu on r´ ecolte un ´ echantillon de mesures de mˆ eme
taille uniquement parmi les femmes Y 1 , . . . , Y n . Ces mesures proviennent d’une
loi normale d’esp´ erance inconnue µ et de variance connue σ
2
F . Pour estimer µ
on consid` ere l’estimateur ˆ
µ =
1
2 ( ¯
X + ¯
Y ). Donner un intervalle de confiance `
a
95 % pour µ bas´ e sur ˆ
µ.
8.5
Soient X 1 , . . . , X n n observations ind´ ependantes provenant d’une loi avec
densit´ e
f λ (x) =
λ
2 x exp(−λx) x > 0
0
s i n o n .
1. Sachant que µ = E(X i ) = 2/λ, exprimer var(X i ) en fonction de µ.
2. Donner un intervalle de confiance approxim´ e, au degr´ e 95 %, pour µ bas´ e
sur
n
i=1 X i .
8.6
Un institut de recherche planifie un sondage pour estimer la proportion
de Suisses favorables ` a la r´ evision du syst` eme de s´ ecurit´ e sociale (AVS). Le
financement de l’´ etude permet d’analyser un ´ echantillon de 200 personnes au
maximum. On aimerait obtenir un intervalle de confiance `
a 95 % avec une
longueur maximale de 10 % pour la vraie proportion de personnes favorables `
a
la proposition.
1. D´ eterminer la faisabilit´ e de l’´ etude sur la base du financement pr´ evu.
2. Quel degr´ e de confiance peut ˆ etre obtenu pour l’intervalle sur la base du
financement?
2. Recalculer l’intervalle pour un niveau de confiance plus ´ elev´ e, notamment
99 %.
3. V´ erifier que l’intervalle obtenu en 2. est plus large que celui obtenu en 1.
Expliquer ce fait.
8.4
On voudrait estimer la vitesse moyenne µ ` a laquelle est parcouru le contournement de Gen` eve. Les variables al´ eatoires X 1 , . . . , X n repr´ esentent les mesures
effectu´ ees sur un ´ echantillon pris uniquement parmi les hommes. On suppose
qu’elles proviennent d’une loi normale d’esp´ erance inconnue µ et de variance
connue σ
2
H . En deuxi` eme lieu on r´ ecolte un ´ echantillon de mesures de mˆ eme
taille uniquement parmi les femmes Y 1 , . . . , Y n . Ces mesures proviennent d’une
loi normale d’esp´ erance inconnue µ et de variance connue σ
2
F . Pour estimer µ
on consid` ere l’estimateur ˆ
µ =
1
2 ( ¯
X + ¯
Y ). Donner un intervalle de confiance `
a
95 % pour µ bas´ e sur ˆ
µ.
8.5
Soient X 1 , . . . , X n n observations ind´ ependantes provenant d’une loi avec
densit´ e
f λ (x) =
λ
2 x exp(−λx) x > 0
0
s i n o n .
1. Sachant que µ = E(X i ) = 2/λ, exprimer var(X i ) en fonction de µ.
2. Donner un intervalle de confiance approxim´ e, au degr´ e 95 %, pour µ bas´ e
sur
n
i=1 X i .
8.6
Un institut de recherche planifie un sondage pour estimer la proportion
de Suisses favorables ` a la r´ evision du syst` eme de s´ ecurit´ e sociale (AVS). Le
financement de l’´ etude permet d’analyser un ´ echantillon de 200 personnes au
maximum. On aimerait obtenir un intervalle de confiance `
a 95 % avec une
longueur maximale de 10 % pour la vraie proportion de personnes favorables `
a
la proposition.
1. D´ eterminer la faisabilit´ e de l’´ etude sur la base du financement pr´ evu.
2. Quel degr´ e de confiance peut ˆ etre obtenu pour l’intervalle sur la base du
financement?