8. Inf´ erence 181
Exercices
Intervalles de confiance
8.1
Un fabricant de voitures fait un test d’efficacit´ e d’un certain mod` ele. On
mesure les litres de consommation d’essence pour 100 kilom` etres
14,60 11,21 15,56 11,37 13,68 11,06 26,58
13,37 15,98 12,07 13,22 12,01 15,07.
On connaˆ ıt la variance de la population : elle vaut σ
2 = 16.
1. Calculer un intervalle de confiance `
a 95 % pour la moyenne.
2. Quel niveau correspond `
a un intervalle de longueur 3 litres/100 km?
3. Combien d’observations additionnelles sont n´ ecessaires pour avoir un intervalle `
a 99 % de longueur 2 litres/100 km?
8.2
On consid` ere un portefeuille avec n actifs R 1 , . . . , R n ind´ ependants, o` u l’on
suppose que R i ∼ N (µ i ,σ
2
i ).
Soit R p le rendement du portefeuille : R p =
n
i=1 a i R i avec
n
i=1 a i = 1.
1. Donner la distribution de R p .
2. Supposons maintenant que les σ i soient connus. Calculer un intervalle de
confiance `
a 95 % pour µ p = E(R p ).
3. Application
n = 16, a i =
2,5 % i = 1, . . . , 8
10 % i = 9, . . . , 16
et σ i =
4 % i = 1, . . . , 8
1 % i = 9, . . . , 16
On a observ´ e les r´ ealisations r i =
6 % i = 1, . . . , 8
9 % i = 9, . . . , 16
Calculer l’intervalle de confiance `
a 95 % pour µ p .
8.3
Dans un test de fabrication de composants d’une chaˆ ıne hi-fi, la baisse de
puissance de sortie des circuits ´ electriques apr` es 2 000 heures d’utilisation a ´ et´ e
mesur´ ee. Un essai sur 80 composants identiques a donn´ e les r´ esultats suivants :
la baisse de puissance moyenne est de 12 watts. Par ailleurs il est connu que
l’´ ecart-type de la baisse de puissance pour ce type de circuit ´ electrique est
σ = 2 watts.
1. Calculer l’intervalle de confiance (approximatif) `
a 95 % de la baisse de
puissance moyenne de la fabrication.
Exercices
Intervalles de confiance
8.1
Un fabricant de voitures fait un test d’efficacit´ e d’un certain mod` ele. On
mesure les litres de consommation d’essence pour 100 kilom` etres
14,60 11,21 15,56 11,37 13,68 11,06 26,58
13,37 15,98 12,07 13,22 12,01 15,07.
On connaˆ ıt la variance de la population : elle vaut σ
2 = 16.
1. Calculer un intervalle de confiance `
a 95 % pour la moyenne.
2. Quel niveau correspond `
a un intervalle de longueur 3 litres/100 km?
3. Combien d’observations additionnelles sont n´ ecessaires pour avoir un intervalle `
a 99 % de longueur 2 litres/100 km?
8.2
On consid` ere un portefeuille avec n actifs R 1 , . . . , R n ind´ ependants, o` u l’on
suppose que R i ∼ N (µ i ,σ
2
i ).
Soit R p le rendement du portefeuille : R p =
n
i=1 a i R i avec
n
i=1 a i = 1.
1. Donner la distribution de R p .
2. Supposons maintenant que les σ i soient connus. Calculer un intervalle de
confiance `
a 95 % pour µ p = E(R p ).
3. Application
n = 16, a i =
2,5 % i = 1, . . . , 8
10 % i = 9, . . . , 16
et σ i =
4 % i = 1, . . . , 8
1 % i = 9, . . . , 16
On a observ´ e les r´ ealisations r i =
6 % i = 1, . . . , 8
9 % i = 9, . . . , 16
Calculer l’intervalle de confiance `
a 95 % pour µ p .
8.3
Dans un test de fabrication de composants d’une chaˆ ıne hi-fi, la baisse de
puissance de sortie des circuits ´ electriques apr` es 2 000 heures d’utilisation a ´ et´ e
mesur´ ee. Un essai sur 80 composants identiques a donn´ e les r´ esultats suivants :
la baisse de puissance moyenne est de 12 watts. Par ailleurs il est connu que
l’´ ecart-type de la baisse de puissance pour ce type de circuit ´ electrique est
σ = 2 watts.
1. Calculer l’intervalle de confiance (approximatif) `
a 95 % de la baisse de
puissance moyenne de la fabrication.