Chapitre 8
Inf´ erence
Introduction
Ce chapitre est d’abord une extension du chapitre pr´ ec´ edent dans le sens
o` u il ´ etend la notion d’estimation ponctuelle `
a la notion d’estimation par intervalles. Ensuite, il aborde la th´ eorie des tests. `
A partir de l’´ echantillon on veut
r´ epondre `
a la question sur un param` etre ou une caract´ eristique de la population : est-ce que les d´ epense mensuelles en cosm´ etiques d´ ependent du statut
professionnel, est-ce que les gar¸ cons ont plus de chance d’ˆ etre pr´ ematur´ es que
les filles, etc.
Formellement, on teste une hypoth` ese H 0 que l’on appelle l’hypoth` ese nulle
contre une hypoth` ese H A (ou H 1 ), l’hypoth` ese alternative. La statistique de
test permet de rejeter ou pas l’hypoth` ese H 0 .
Les statistiques consid´ er´ ees ici sont les tests bas´ es sur la moyenne, le test t
de Student, le test du χ
2 (test d’ad´ equation et test d’ind´ ependance), les tests
sur les param` etres de r´ egression et les tests d´ eriv´ es de la th´ eorie de NeymanPearson. Ces tests permettent de traiter plusieurs situations courantes.
Les propri´ et´ es d’une statistique de test se quantifient avec la notion d’erreur
de 1
re esp` ece (α, la probabilit´ e de rejeter H 0 alors qu’elle est vraie), l’erreur de
2
e esp` ece (1 − β, la probabilit´ e de ne pas rejeter H 0 alors qu’elle est fausse) et
la notion de puissance (β, qui est le compl´ ement `
a 1 de l’erreur de 2
e esp` ece).
Deux approches s’affrontent historiquement : l’approche par la p-valeur (Fisher) et l’approche par les valeurs critiques, qui d´ efinissent une r´ egion de rejet (Neyman-Pearson). Dans les deux cas, il s’agit de comparer la valeur que
prend la statistique sur l’´ echantillon `
a la distribution de la statistique si l’hypoth` ese nulle ´ etait vraie (cf. figure 8.1). Avec la p-valeur on calcule la probabilit´ e
sous H 0 que l’on observe une valeur autant voire plus extrˆ eme que celle que
l’on a observ´ ee sur l’´ echantillon. Si cette probabilit´ e est faible, cela indique que
nous sommes face ` a un ´ ev´ enement peu probable sous H 0 et produit de l’´ evidence
contre H 0 . Dans l’approche par la valeur critique, apr` es avoir fix´ e d’avance le
Inf´ erence
Introduction
Ce chapitre est d’abord une extension du chapitre pr´ ec´ edent dans le sens
o` u il ´ etend la notion d’estimation ponctuelle `
a la notion d’estimation par intervalles. Ensuite, il aborde la th´ eorie des tests. `
A partir de l’´ echantillon on veut
r´ epondre `
a la question sur un param` etre ou une caract´ eristique de la population : est-ce que les d´ epense mensuelles en cosm´ etiques d´ ependent du statut
professionnel, est-ce que les gar¸ cons ont plus de chance d’ˆ etre pr´ ematur´ es que
les filles, etc.
Formellement, on teste une hypoth` ese H 0 que l’on appelle l’hypoth` ese nulle
contre une hypoth` ese H A (ou H 1 ), l’hypoth` ese alternative. La statistique de
test permet de rejeter ou pas l’hypoth` ese H 0 .
Les statistiques consid´ er´ ees ici sont les tests bas´ es sur la moyenne, le test t
de Student, le test du χ
2 (test d’ad´ equation et test d’ind´ ependance), les tests
sur les param` etres de r´ egression et les tests d´ eriv´ es de la th´ eorie de NeymanPearson. Ces tests permettent de traiter plusieurs situations courantes.
Les propri´ et´ es d’une statistique de test se quantifient avec la notion d’erreur
de 1
re esp` ece (α, la probabilit´ e de rejeter H 0 alors qu’elle est vraie), l’erreur de
2
e esp` ece (1 − β, la probabilit´ e de ne pas rejeter H 0 alors qu’elle est fausse) et
la notion de puissance (β, qui est le compl´ ement `
a 1 de l’erreur de 2
e esp` ece).
Deux approches s’affrontent historiquement : l’approche par la p-valeur (Fisher) et l’approche par les valeurs critiques, qui d´ efinissent une r´ egion de rejet (Neyman-Pearson). Dans les deux cas, il s’agit de comparer la valeur que
prend la statistique sur l’´ echantillon `
a la distribution de la statistique si l’hypoth` ese nulle ´ etait vraie (cf. figure 8.1). Avec la p-valeur on calcule la probabilit´ e
sous H 0 que l’on observe une valeur autant voire plus extrˆ eme que celle que
l’on a observ´ ee sur l’´ echantillon. Si cette probabilit´ e est faible, cela indique que
nous sommes face ` a un ´ ev´ enement peu probable sous H 0 et produit de l’´ evidence
contre H 0 . Dans l’approche par la valeur critique, apr` es avoir fix´ e d’avance le