7. Estimation ponctuelle 177
D´ erivons-la par rapport ` a θ
∂
∂θ
l(θ | x 1 , . . . , x n ) = −
n
θ
+
1
2θ 2
n
i=1
x
2
i .
On obtient alors l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
θ MV de θ
suivant
ˆ
θ MV =
1
2n
n
i=1
x
2
i .
3. Nous savons que X
2
i /2 suit une loi exponentielle de param` etre 1/θ. Son
esp´ erance vaut donc θ et celle de l’estimateur
E( ˆ
θ MV ) =
1
n
n
i=1
E
X
2
i
2
= θ.
L’estimateur est sans biais.
4. La variance de l’estimateur vaut
var( ˆ
θ MV ) =
1
n 2
n
i=1
var
X
2
i
2
=
1
n 2 nθ
2 =
θ
2
n
.
Calculons l’information de Fisher et la borne de Cram´ er-Rao pour un
estimateur non biais´ e de θ
log f θ (x) = − log θ + log x −
x
2
2θ
⇒
∂
∂θ
log f θ (x) = −
1
θ
+
x
2
2θ 2
⇒
∂
2
∂θ 2 log f θ (x) =
1
θ 2 −
x
2
θ 3
⇒ J(θ) = −
1
θ 2 +
2
θ 3 E
X
2
2
= −
1
θ 2 +
2
θ 2 =
1
θ 2
⇔ BCR =
θ
2
n
.
L’estimateur atteint donc la borne de Cram´ er-Rao. Il n’en existe pas
d’autres avec une variance inf´ erieure, et ceci quelle que soit la valeur
de n.