7. Estimation ponctuelle 175
7.31
1. L’esp´ erance de la variable al´ eatoire X est
E(X) =
1
0
xα(α + 1)x
α−1 (1 − x)dx
= α(α + 1)
x
α+1
α + 1
−
x
α+2
α + 2
x=1
x=0
=
α
α + 2
.
On en tire l’estimateur des moments ˆ
α M de α
ˆ
α M
ˆ
α M + 2
= X ⇔ ˆ
α M =
2X
1 − X
.
2. Calculons en 1
er lieu l’information de Fisher.
log f α (x) = log α + log(α + 1) − (α − 1) log x + log(1 − x)
⇒
∂
∂α
log f α (x) =
1
α
+
1
α + 1
+ − log x
⇒
∂
2
∂α 2 log f α (x) = −
1
α 2 −
1
(α + 1) 2
⇒ J(α) =
(α + 1)
2 + α
2
α 2 (α + 1) 2 .
Ainsi, la borne de Cram´ er-Rao pour un estimateur non biais´ e de α est
BCR =
α
2 (α + 1)
2
n(α 2 + (α + 1) 2 )
.
Comparons-la `
a la variance de l’estimateur ˆ
α M :
var(ˆ α) − BCR =
α(α + 2)
2
2(α + 3)
−
α
2 (α + 1)
2
α 2 + (α + 1) 2
=
α(3α
2 + 6α + 4)
2(α + 3)(2α 2 + 2α + 1)
> 0,
car tous les facteurs sont positifs. La borne de Cram´ er-Rao est bien inf´ erieure `
a la variance de l’estimateur ˆ
α M ; l’estimateur n’est pas efficace.
7.32
Soit X i une variable al´ eatoire correspondant au num´ ero de s´ erie d’une pi` ece
´ electronique. La variable al´ eatoire X i est distribu´ ee selon une loi uniforme discr` ete de param` etres (0, N). Cherchons l’estimateur des moments ˆ
N M de N
E(X) =
n
i=1
1
N
i =
1
N
N (N + 1)
2
=
N + 1
2