174 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Les estimateurs du maximum de vraisemblance sont les solutions des
conditions de 1
er ordre. Par cons´ equent, l’estimateur de β est
∂ log L
∂β
= −
1
σ 2
i
(log(y i ) − ˆ
β MV x i ) · (−x i ) = 0
⇔
i
log(y i )x i − ˆ
β MV
i
x
2
i = 0
⇔ ˆ
β MV =
i log(y i )x i
i x 2
i
,
et celui de σ
2 est
∂ log L
∂σ 2 = −
n
2ˆ σ 2
MV
+
1
2ˆ σ 4
MV
i
(log(y i ) − ˆ
β MV x i )
2 = 0
⇔ ˆ
σ
2
MV =
1
n
i
(log(y i ) − ˆ
β MV x i )
2
2. Calculons l’information de Fisher pour σ
2
∂ log(f (y))
∂(σ 2 )
= −
1
2σ 2 +
1
2σ 4 (log y − µ)
2
⇔
∂
2 log(f (y))
∂(σ 2 ) 2
=
1
2σ 4 −
1
σ 6 (log y − µ)
2 =
1
2σ 4 −
1
σ 6 (log y − E(log y))
2
⇔ J(σ
2 ) = −
1
2σ 4 +
1
σ 6 E(log y − E(log y))
2 = −
1
2σ 4 +
1
σ 6 · σ
2 =
1
2σ 4 .
Nous avons d´ ej` a vu que l’esp´ erance de l’estimateur ˆ
σ
2
MV est
E(ˆ σ
2
MV ) =
n − 1
n
σ
2 .
Ainsi, si on pose g(ˆ σ
2
MV ) =
n−1
n ˆ
σ
2
MV , on trouve la borne de Cram´ er-Rao
correspondante, ` a savoir
BCR =
(g
(ˆ σ
2
MV ))
2
nJ(σ 2 )
=
2(n − 1)
2 σ
4
n 3
.
La variance de ˆ
σ
2
MV est
var(ˆ σ
2
MV ) = var
1
n
i
(log(y i ) − ˆ
β MV x i )
2
= var
1
n
i
(log(y i ) − log y)
2
=
2(n − 1)
n 2 σ
4 .
Lors de la derni` ere ´ egalit´ e, on utilise la variance de ˜
s
2 trouv´ ee dans l’exercice 7.4. On en d´ eduit que ˆ
σ
2
MV n’atteint pas la borne de Cram´ er-Rao.