172 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
⇒ f Y (y) = f X (y
1/c )
1
c
y
1/c−1 =
1
θ
exp
−
y
θ
.
Y est distribu´ ee selon une loi exponentielle de param` etre 1/θ. On en
d´ eduit
E( ˆ
θ MV ) = E
1
n
n
i=1
X
c
i
=
1
n
nθ = θ,
et
var( ˆ
θ MV ) = var
1
n
n
i=1
X
c
i
=
1
n 2 nθ
2 =
θ
2
n
.
3. Calculons l’information de Fisher
∂
∂θ
log f θ (x) = −
1
θ
+
x
c
θ 2
⇒
∂
2
∂θ 2 log f θ (x) =
1
θ 2 −
2x
c
θ 3
⇒ J(θ) = −E
1
θ 2 −
2X
c
θ 3
= −
1
θ 2 +
2
θ 3 E(X
c ) =
1
θ 2 .
La borne de Cram´ er-Rao pour un estimateur non biais´ e de θ est par
cons´ equent
BCR =
θ
2
n
.
L’estimateur ˆ
θ MV est donc ` a variance minimale.
7.29
1. La vraisemblance d’un ´ echantillon de n variables al´ eatoires distribu´ ees
selon une loi log-normale d’esp´ erance µ et de variance σ
2 s’´ ecrit
L(µ | x 1 , . . . , x n ) = c
n
n
i=1
1
x i
exp
−
1
2σ 2 (log x i − µ)
2
et la log-vraisemblance
l(µ | x 1 , . . . , x n ) = n log c −
n
i=1
log x i −
1
2σ 2
n
i=1
(log x i − µ)
2 .
L’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
µ MV de µ est alors la solution de
∂
∂µ
l(µ | x 1 , . . . , x n ) = −
1
σ 2
n
i=1
(log x i − µ) = 0.
Donc
ˆ
µ MV =
1
n
n
i=1
log x i .