7. Estimation ponctuelle 171
7.27
Comme les ε i suivent une distribution normale de param` etres (0, σ
2 ), les Y i
suivent eux aussi une distribution normale, mais de param` etres (α+βx i , σ
2 ). La
fonction de vraisemblance d’un ´ echantillon de taille n d’observations y i s’´ ecrit
alors
L(α,β | x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ) =
1
√
2πσ
n
exp
−
1
2σ 2
n
i=1
(y i − α − βx i )
2
et la log-vraisemblance
l(α,β | x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ) = −n log(
√
2πσ) −
1
2σ 2
n
i=1
(y i − α − βx i )
2 .
Maximiser la log-vraisemblance par rapport `
a α et β revient ` a minimiser
n
i=1 (y i − α − βx i )
2 , ce qui est le principe mˆ eme de la d´ etermination des
estimateurs des moindres carr´ es.
7.28
1. On cherche l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
θ MV de θ. La
fonction de vraisemblance d’un ´ echantillon de n variables al´ eatoires distribu´ ees selon une loi de Weibull est
L(θ | x 1 , . . . , x n ) = c
n θ
−n
n
i=1
x
c−1
i
exp
−
n
i=1 x
c
i
θ
et sa log-vraisemblance est
l(θ | x 1 , . . . , x n ) = n log c − n log θ + (c − 1)
n
i=1
x i −
1
θ
n
i=1
x
c
i .
D´ erivons cette derni` ere pour trouver l’estimateur ˆ
θ MV :
∂
∂θ
l(θ | x 1 , . . . , x n ) = −
n
θ
+
1
θ 2
n
i=1
x
c
i
⇒ ˆ
θ MV =
1
n
n
i=1
x
c
i .
2. Cherchons la fonction de densit´ e de Y = X
c .
F Y (y) = P (Y < y) = P (X
c < y) = P (X < y
1/c ) = F X (y
1/c )