170 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. La fonction de densit´ e conjointe de tout l’´ echantillon est
f α (x 1 , . . . , x n ) = α
n x
αn
0
n
i=1
x i
−(1+α)
,
et la log-vraisemblance est
L(α | x 1 , . . . , x n ) = log(f α (x 1 , . . . , x n )) =
= n log α + αn log x 0 − (1 + α)
n
i=1
log x i .
L’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
α MV de α est la solution du
maximum de L
∂L(α | x 1 , . . . , x n )
∂α
=
n
α
+ n log x 0 −
n
i=1
log x i = 0.
Par cons´ equent
ˆ
α MV =
n
n
i=1 log x i − n log x 0
.
3. Avec la nouvelle param´ etrisation, la fonction de densit´ e conjointe est
f η (x 1 , . . . ,x n ) = η
−n x
n/η
0
n
i=1
x i
−1+1/η
.
La log-vraisemblance devient
L(η | x 1 , . . . , x n ) = −n log η +
n
η
log x 0 − (1 +
1
η
)
n
i=1
log x i ,
et l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
η MV de η devient la solution de
∂L(η | x 1 , . . . ,x n )
∂η
= −
n
η
−
n
η 2 log x 0 +
1
η 2
n
i=1
log x i = 0.
Ainsi
ˆ
η MV =
n
i=1 log x i − n log x 0
n
.
4. On remarque que
ˆ
α MV =
1
ˆ
η MV
.
D’une mani` ere g´ en´ erale,
h(θ) MV = h( ˆ
θ MV ) si h est monotone.