7. Estimation ponctuelle 169
2. Calculons la distribution de Y pour n = 2.
F Y (y) = P (Y < y) = P (max(X 1 , X 2 ) < y)
= P (X 1 < y, X 2 < y)
ind
= P (X 1 < y) · P (X 2 < y) = [P (X 1 < y)]
2 .
De mani` ere g´ en´ erale
F Y (y) = [P (X 1 < y)]
n .
Par cons´ equent
F Y (y) =



0
s iy < 0
(y/θ)
n
si 0 ≤ y ≤ θ
1
s iy > θ.
3. Afin de trouver le biais de l’estimateur Y , on calcule son esp´ erance. Pour
cela, notons d’abord que
f Y (y) =
θ
−n ny
n−1 si 0 ≤ y ≤ θ
0
s i n o n .
Ainsi
E(Y ) =
θ
0
n
θ n y
n dy =
n
θ n
y
n+1
n + 1
y=θ
y=0
=
n
n + 1
θ.
L’estimateur Y est donc biais´ e
biais(Y, θ) = −
θ
n + 1
.
On propose alors le nouvel estimateur ˜
Y sans biais suivant
˜
Y =
n + 1
n
Y =
n + 1
n
max(X 1 , . . . , X n ).
7.26
1. L’esp´ erance d’une variable al´ eatoire X qui suit une distribution de Pareto
est
E(X) =
α
α − 1
x 0 .
L’estimateur des moments ˆ
α M du param` etre α est par cons´ equent
ˆ
α M =
X
X − x 0
.