7. Estimation ponctuelle 167
On en d´ eduit l’estimateur des moments
ˆ
θ M + 1
ˆ
θ M + 2
= X ⇔ ˆ
θ M =
2X − 1
1 − X
.
2. La log-vraisemblance de l’´ echantillon est
l(θ | x 1 , . . . , x n ) = n log(θ + 1) + θ
n
i=1
log x i .
On la d´ erive par rapport `
a θ et on cherche la racine pour obtenir l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
θ MV de θ
∂
∂θ
l(θ | x 1 , . . . , x n ) =
n
θ + 1
+
n
i=1
log x i = 0.
D’o` u
ˆ
θ MV = −
n
n
i=1 log x i
− 1.
7.24
L’esp´ erance et la variance d’une variable al´ eatoire X suivant une loi uniforme de param` etres (a, b) sont
E(X) =
a + b
2
var(X) =
(b − a)
2
12
.
Le 2
e moment de X est alors
E(X
2 ) = var(X) + E
2 (X) =
a
2 + ab + b
2
3
.
Les estimateurs des moments ˆ
a M et ˆ b M de a et b sont les solutions du syst` eme
ˆ
aM + ˆ bM
2
= X
ˆ
a
2
M +ˆ aM ˆ bM + ˆ b
2
M
3
=
1
n
n
i=1 X
2
i
La 1
re ´ equation donne
ˆ
a M = 2X − ˆ b M ,
ce qui conduit par substitution dans la 2
e ´ equation `
a
ˆ b M = X ±
3
n
n
i=1
X 2
i − 3X
2 .