166 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. On peut r´ ecrire la log-vraisemblance comme
l(µ | x 1 , . . . , x n ) =
= −
n
2
log(2π) −
n
2
log σ
2
−
1
2σ 2
n
i=1
(x i − x)
2
−
n
2σ 2 (x − µ)
2
= const −
n
2σ 2 (x − µ)
2 .
Le graphique de cette fonction est pr´ esent´ e ` a la figure 7.3. La log-vraisemblance
a un maximum en µ = x ce que l’on v´ erifie par l’optimisation suivante
∂
∂µ
l(µ | x 1 , . . . , x n ) =
n
σ 2 (x − µ)
2 = 0,
qui implique
ˆ
µ MV = x.
Pour savoir si l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
µ MV de µ est
celui qui a la variance minimale, il faut calculer la borne de Cram´ er-Rao.
Cherchons l’information de Fisher
∂
∂µ
log(f µ (x)) =
x − µ
σ 2
⇒
∂
2
∂µ 2 log(f µ (x)) = −
1
σ 2
⇒ J(µ) = −E
−
1
σ 2
=
1
σ 2 .
La borne de Cram´ er-Rao pour un estimateur sans biais de µ est par
cons´ equent
BCR =
σ
2
n
.
Or
var(ˆ µ MV ) = var(X) =
σ
2
n
.
L’estimateur ˆ
µ MV atteint la borne ; il n’existe donc pas d’estimateurs
de µ ayant une variance plus petite.
7.23
1. Pour trouver l’estimateur des moments ˆ
θ M de θ, calculons l’esp´ erance de
la variable al´ eatoire X
E(X) =
1
0
x(θ + 1)x
θ dx =
θ + 1
θ + 2
x
θ+2
x=1
x=0
=
θ + 1
θ + 2
.