164 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
7.21
1. Comme il n’y a qu’une seule mesure, la vraisemblance est ´ egale `
a la
fonction de distribution de X
L(p | x) =
n
x
p
x (1 − p)
n−x .
La log-vraisemblance s’´ ecrit
l(p | x) = log
n
x
+ x log p + (n − x) log(1 − p),
et sa maximisation par rapport `
a p donne
∂
∂p
l(p | x) =
x
p
−
n − x
1 − p
= 0.
On en d´ eduit
ˆ
p MV =
X
n
.
2. D´ erivons une 2
e fois L(p | x) par rapport `
a p
∂
2
∂p 2 L(p | x) = −
x
p 2 −
n − x
(1 − p) 2 .
L’information de Fisher est alors
J(p) = −E
−
x
p 2 −
n − x
(1 − p) 2
=
np
p 2 −
n − np
(1 − p) 2 =
n
p(1 − p)
,
et la borne de Cram´ er-Rao pour un estimateur non biais´ e de p est
BCR =
p(1 − p)
n
.
3. La variance de ˆ
p MV est
var(ˆ p MV ) = var
X
n
=
np(1 − p)
n 2
=
p(1 − p)
n
.
L’estimateur atteint bien la borne de Cram´ er-Rao.
7.22
1. La fonction de distribution d’une variable al´ eatoire normale d’esp´ erance µ
et de variance σ
2 est
f σ 2 (x) =
1
√
2πσ
exp
−
1
2σ 2 (x − µ)
2
.