7. Estimation ponctuelle 163
Pour trouver le nombre moyen d’´ echantillons pour lesquels ˆ
θ M est sup´ erieur `
a la valeur de θ, on cherche la probabilit´ e que ˆ
θ M soit plus grand
que 1, en sachant que θ = 1
P ( ˆ
θ M > 1) = P (X >
1
3
) =
θ=1
= P

 X − θ/3
3−θ 2
9n
>
1/3 − 1/3
2
9n

 = P (Z > 0) =
1
2
,
o` u Z est une variable al´ eatoire issue d’une loi normale de param` etres (0, 1).
On en d´ eduit qu’il y aura en moyenne 1 000 ·
1
2 = 500 ´ echantillons qui
donneront un estimateur de θ sup´ erieur ` a la vraie valeur du param` etre.
Notons que, dans le cas pr´ esent, ce r´ esultat ne d´ epend pas de la taille des
´ echantillons.
7.20
1. Cherchons l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
p MV de p. La
vraisemblance est
L(p | x 1 , . . . , x n ) = (1 − p)
P n
i=1 xi−n p
n
et la log-vraisemblance
l(p | x 1 , . . . , x n ) = log(1 − p)
n
i=1
x i − n
+ n log p.
En maximisant l(p | x 1 , . . . , x n ) par rapport `
a p, on obtient
∂
∂p
l(p | x 1 , . . . , x n ) =
n −
n
i=1 x i
1 − p
+
n
p
= 0
et l’estimateur
ˆ
p MV =
1
X
.
2. L’esp´ erance d’une variable al´ eatoire X suivant une loi g´ eom´ etrique est
E(X) =
1
p
.
On en tire l’estimateur des moments ˆ
p M de p :
ˆ
p M =
1
X
.
Les 2 estimateurs sont identiques.