162 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
On en d´ eduit la borne de Cram´ er-Rao pour µ
BCR =
σ
2
n
.
La variance de X est
var(X) =
1
n 2
n
i=1
var(X i ) =
1
n
var(X i ) =
σ
2
n
.
L’estimateur X atteint la borne de Cram´ er-Rao pour µ. De plus, rappelons que
X est un estimateur non biais´ e de µ. Il est donc le meilleur estimateur du point
de vue de l’erreur carr´ ee moyenne ´ egalement.
7.19
1. L’esp´ erance de la variable al´ eatoire X i est
E(X i ) =
1
−1
1
2
x(1 + θx)dx =
1
2
x
2
2
+ θ
x
3
3
x=1
x=−1
=
θ
3
.
L’estimateur des moments ˆ
θ M de θ est donc
ˆ
θ M = 3X.
2. C’est un estimateur sans biais
biais( ˆ
θ M , θ) = E( ˆ
θ M ) − θ = 3E(X) − θ = 3 ·
θ
3
− θ = 0.
Pour trouver sa variance, il est n´ ecessaire de calculer d’abord E(X
2
i )
E(X
2
i ) =
1
−1
1
2
x
2 (1 + θx)dx =
1
2
x
3
3
+ θ
x
4
4
x=1
x=−1
=
1
3
,
⇒ var(X i ) = E(X
2
i ) − E
2 (X i ) =
1
3
−
θ
2
9
=
3 − θ
2
9
.
La variance de l’estimateur ˆ
θ M est alors
var( ˆ
θ M ) =
9
n
var(X i ) =
3 − θ
2
n
.
3. Par le th´ eor` eme central limite, on sait que
X − E(X)
var(X)
=
X − θ/3
3−θ 2
9n
n→∞
∼ N(0, 1).