7. Estimation ponctuelle 159
par cons´ equent
˜
J(θ) = −E
∂
2
∂θ 2 log(g θ (y 1 , . . . ,y n ))
= −E
∂
2
∂θ 2
n
i=1
log(f θ (y i ))
= −
n
i=1
E
∂
2
∂θ 2 log(f θ (y i ))
.
2. Les Y i ont la mˆ eme distribution, donc
˜
J(θ) = −nE
∂
2
∂θ 2 log(f θ (y i ))
= nJ(θ).
7.15
1. La loi de probabilit´ e d’une variable al´ eatoire X suivant une loi de Bernoulli de probabilit´ e p est
P (X = x) = p
x (1 − p)
1−x .
On cherche la borne de Cram´ er-Rao pour p
log(P (X = x)) = x log(p) + (1 − x) log(1 − p)
⇒
∂ log(P (X = x))
∂p
=
x
p
−
1 − x
1 − p
⇒
∂
2 log(P (X = x))
∂p 2
= −
x
p 2 −
1 − x
(1 − p) 2 .
L’information de Fisher est donc
J(p) = −E
−
x
p 2 −
1 − x
(1 − p) 2
=
1
p 2 E(X) −
1 − E(X)
(1 − p) 2 =
1
p(1 − p)
,
et la borne de Cram´ er-Rao pour p
BCR =
p(1 − p)
n
.
L’estimateur ˆ
p = X atteint la borne de Cram´ er-Rao.
2. On proc` ede de la mˆ eme mani` ere pour un estimateur non biais´ e de la
variance d’une loi normale de param` etre (0, σ
2 ) dont la fonction de densit´ e
est
f σ 2 (x) =
1
√
2πσ 2
exp
−
1
2σ 2 x
2
.