7. Estimation ponctuelle 157
ce qui implique la valeur de son erreur carr´ ee moyenne :
ECM(ˆ p 2 , p 2 ) =
np(1 − p) + (1 − 2p)
2
(n + 2) 2
.
3. On compare maintenant ECM(ˆ p 1 , p 1 ) et ECM(ˆ p 2 , p 2 ) pour diff´ erentes valeurs de p. Pour p = 0, ECM(ˆ p 1 , p 1 ) = 0 et ECM(ˆ p 2 , p 2 ) =
1
(n+2) 2 , donc
ECM(ˆ p 1 , p 1 ) < ECM(ˆ p 2 , p 2 ). Pour les autres valeurs de p, il faut regarder
le signe de ECM(ˆ p 1 , p 1 ) − ECM(ˆ p 2 , p 2 )
sign(ECM(ˆ p 1 , p 1 ) − ECM(ˆ p 2 , p 2 )) = sign(p(1 − p)(8n + 4) − n).
Ainsi
– p = 1/8 : ECM(ˆ p 1 , p 1 ) < ECM(ˆ p 2 , p 2 ), n > 3,
– p = 1/4 : ECM(ˆ p 1 , p 1 ) > ECM(ˆ p 2 , p 2 ), ∀n,
– p = 1/2: ECM(ˆ p 1 , p 1 ) > ECM(ˆ p 2 , p 2 ), ∀n.
7.11
1. L’esp´ erance de X vaut
E(X) = E(X i ) = µ.
L’estimateur X est donc sans biais pour µ.
2. On calcule l’esp´ erance de X
2
E(X
2 ) = var(X) + E
2 (X) =
σ
2
n
+ µ
2 ,
et
biais(X
2 , µ
2 ) =
σ
2
n
+ µ
2
− µ
2 =
σ
2
n
.
3. Soit s
2 =
1
n−1
n
i=1 (X i − X)
2 . On veut obtenir un nouvel estimateur
de µ
2 de la forme X
2 − ks
2 . D´ eterminons k
E(X
2 − ks
2 ) = E(X
2 ) − kE(s
2 ) =
σ
2
n
+ µ
2
− kσ
2 = µ
2 + σ
2
1
n
− k
.
Pour que cet estimateur soit sans biais, il faut que k =
1
n .
7.12
Soit l’estimateur ˆ
θ = Y (1 − Y ).
1. Pour calculer son biais, on calcule d’abord son esp´ erance
E( ˆ
θ) = E(Y (1 − Y )) = E(Y ) − E(Y
2 ) = p − (var(Y ) + E
2 (Y ))
= p −
p(1 − p)
n
+ p
2
=
n − 1
n
p(1 − p) =
n − 1
n
θ.