156 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
7.9
Soient X 1 , . . . , X n des mesures du rayon dont la distribution est normale
d’esp´ erance R et de variance σ
2 . On cherche un estimateur non biais´ e de la
surface S d’un cercle de rayon R. Commen¸ cons par calculer l’esp´ erance de la
nouvelle variable al´ eatoire T = πX
2
E(T ) = E(πX
2 ) = π(var(X) + E
2 (X)) = πR
2 + πσ
2 .
On voit que T est un estimateur biais´ e de la surface du cercle. On corrige ce
biais en utilisant l’estimateur non biais´ e s
2 de la variance d´ efini par
s
2 =
1
n − 1
n
i=1
(X i − X)
2
pour obtenir le nouvel estimateur ˜
S non biais´ e de la surface du cercle tel que
˜
S = π(X
2
− s
2 ).
7.10
1. Soit l’estimateur ˆ
p 1 =
1
n
n
i=1 X i . Calculons son esp´ erance
E(ˆ p 1 ) =
1
n
nE(X i ) = p.
L’estimateur ˆ
p 1 est donc sans biais pour p. Sa variance est
var(ˆ p 1 ) =
p(1 − p)
n
et son erreur carr´ ee moyenne
ECM(ˆ p 1 , p 1 ) =
p(1 − p)
n
.
2. Soit le nouvel estimateur ˆ
p 2 =
n ˆ
p1+1
n+2 . Le calcul de son esp´ erance donne
E(ˆ p 2 ) =
nE(ˆ p 1 ) + 1
n + 2
=
np + 1
n + 2
.
Ainsi, son biais devient
biais(ˆ p 2 , p 2 ) =
np + 1
n + 2
− p =
1 − 2p
n + 2
.
De plus, sa variance est
var(ˆ p 2 ) =
n
2
(n + 2) 2 var(ˆ p 1 ) =
np(1 − p)
(n + 2) 2