154 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Dans le dernier calcul, il faut noter que les 2 covariances proviennent de la
pr´ esence des variables al´ eatoires X 1 et X 2 dans
n
i=1 X i . On en d´ eduit que
var(T 2 ) − var(T 1 ) =
σ
2
n
+
σ
2
2
−
σ
2
2
=
σ
2
n
> 0.
La variance de T 2 est donc sup´ erieure `
a celle de T 1 , ce qui implique que T 1 est
l’estimateur le plus efficace, malgr´ e le fait qu’il n’utilise que l’information de
X 1 et X 2 .
7.7
1. Soit l’estimateur P
∗ tel que
P
∗ =
1
2
(P 1 + P 2 ).
Sa variance estim´ ee est
var(P
∗ ) =
1
4
(
var(P 1 ) +
var(P 2 )) =
=
1
4
0,3 · 0,7
200
+
0,24 · 0,76
1 000
3,08 · 10
−4 .
2. Le calcul de la variance estim´ ee de P 2 donne
var(P 2 ) =
0,24 · 0,76
1 000
1,82 · 10
−4 .
3. Celui de P donne
var(P ) =
0,25 · 0,75
1 200
1,56 · 10
−4 .
4. Calculons l’efficacit´ e de P
∗ et P 2 par rapport `
a P
eff(P
∗ , P )
1,56 · 10
−4
3,08 · 10 −4 0,51,
eff(P 2 , P )
1,56 · 10
−4
1,82 · 10 −4 0,86.
5. C’est vrai.
7.8
Soit un ´ echantillon X 1 , . . . , X n tir´ e d’une loi normale de param` etres (µ, 4).
1. On cherche n tel que l’erreur absolue | X − µ | soit au plus ´ egale `
a un