7. Estimation ponctuelle 151
(b) a tel que ECM(aX, µ) est minimal
⇔
∂
∂a
ECM(aX, µ) = 0
⇔ 2a
σ
2
n
+ 2(a − 1)µ
2 = 0
⇔ a =
µ
2
σ 2 /n + µ 2
Les 2 m´ ethodes donnent des r´ esultats diff´ erents.
7.4
Soit Z une variable al´ eatoire distribu´ ee selon une loi χ
2 ` a (n − 1) degr´ es de
libert´ e. Son esp´ erance est (n − 1) et sa variance 2(n − 1). Calculons l’esp´ erance
de l’estimateur s
2
E(s
2 ) = E
1
n − 1
n
i=1
(X i − X)
2
=
σ
2
n − 1
E
1
σ 2
n
i=1
(X i − X)
2
=
σ
2
n − 1
E(Z) = σ
2 .
La variance de l’estimateur est
var(s
2 ) = var
1
n − 1
n
i=1
(X i − X)
2
=
σ
4
(n − 1) 2 var
1
σ 2
n
i=1
(X i − X)
2
=
σ
4
(n − 1) 2 var(Z) =
2σ
4
n − 1
,
et, par cons´ equent, son erreur carr´ ee moyenne est
ECM(s
2 , σ
2 ) =
2σ
4
n − 1
.
L’estimateur ˜
s
2 s’´ ecrit comme une fonction de s
2
˜
s
2 =
n − 1
n
s
2 .
On en d´ eduit son esp´ erance, son biais, sa variance et son erreur carr´ ee moyenne
E(˜ s
2 ) =
n − 1
n
σ
2 ,
biais(˜ s
2 , σ
2 ) = −
σ
2
n
,
var(˜ s
2 ) =
2(n − 1)
n 2 σ
4 ,
ECM(˜ s
2 , σ
2 ) =
2(n − 1)
n 2 σ
4 +
1
n 2 σ
4 =
2n − 1
n 2 σ
4 .