148 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
et en utilisant ce r´ esultat dans la 2
e
⇔
n
i=1
y i x i − ˆ
α MC
n
i=1
x i − ˆ
β MC
n
i=1
x
2
i = 0
⇔
n
i=1
y i x i − (y − ˆ
β MC x)
n
i=1
x i − ˆ
β MC
n
i=1
x
2
i = 0
⇔ ˆ
β MC =
n
i=1 y i (x i − x)
n
i=1 x 2
i − nx
2 =
n
i=1 y i (x i − x)
n
i=1 (x i − x) 2 =
=
n
i=1 (y i − y)(x i − x)
n
i=1 (x i − x) 2
.
3. V´ erifions que les 2 estimateurs sont sans biais
E( ˆ
β MC ) = E
n
i=1 y i (x i − x)
n
i=1 (x i − x) 2
=
1
n
i=1 (x i − x) 2
n
i=1
(x i − x)E(y i )
=
1
n
i=1 (x i − x) 2
n
i=1
(x i − x)(α + βx i )
=
1
n
i=1 (x i − x) 2
α
n
i=1
(x i − x)
=0
+β
n
i=1
(x i − x)x i
= β
n
i=1 (x i − x)x i
n
i=1 (x i − x) 2 = β
n
i=1 (x i − x)
2
n
i=1 (x i − x) 2 = β,
et
E(ˆ α MC ) = E(y − ˆ
β MC x) = E(y) − xE( ˆ
β MC ) =
1
n
n
i=1
E(y i ) − xβ
=
1
n
n
i=1
(α + βx i ) − βx = α + βx − βx = α.
4. Pour terminer, on calcule la variance de chacun des 2 estimateurs
var( ˆ
β MC ) = var
n
i=1 (x i − x)y i
n
i=1 (x i − x) 2
=
1
(
n
i=1 (x i − x) 2 )
2
n
i=1
var ((x i − x)y i )
= var(y i )
n
i=1 (x i − x)
2
(
n
i=1 (x i − x) 2 )
2 =
σ
2
n
i=1 (x i − x) 2 ,