7. Estimation ponctuelle 147
Corrig´ es
7.1
1. Pour montrer que s
2 est un estimateur non biais´ e de σ
2 , il faut v´ erifier
que son esp´ erance est ´ egale `
a σ
2
E(s
2 ) =
=
1
n − 1
E
n
i=1
(X i − X)
2
=
1
n − 1
E
n
i=1
X
2
i − 2X
n
i=1
X i + nX
2
=
1
n − 1
n
i=1
E(X
2
i ) − nE(X
2 )
=
1
n − 1
n
i=1
(var(X i ) + E
2 (X i )) − n(var(X) + E
2 (X))
=
1
n − 1
n(σ
2 + µ
2 ) − n(
σ
2
n
+ µ
2 )
=
1
n − 1
(n − 1)σ
2 = σ
2 .
L’estimateur s
2 est sans biais pour σ
2 .
2. Par contre, on montre `
a l’aide de l’in´ egalit´ e de Jensen que S n’est pas un
estimateur sans biais de σ
E(s) = E(
√
s 2 ) =
E(s 2 ) = σ.
7.2
1. Le calcul de l’esp´ erance et de la variance de Y i donne
E(Y i ) = E(α + βx i + i ) = α + βx i + E( i ) = α + βx i
et
var(Y i ) = var(α + βx i + i ) = var( i ) = σ
2 .
2. On aimerait estimer α et β par la m´ ethode des moindres carr´ es. Pour
cela, il faut minimiser la quantit´ e
n
i=1 (y i − α − βx i )
2 par rapport `
a α
et β. On obtient l’ensemble d’´ equations
2
n
i=1 (y i − ˆ
α MC − ˆ
β MC x i ) · (−1) = 0
2
n
i=1 (y i − ˆ
α MC − ˆ
β MC x i ) · (−x i ) = 0.
De la 1
re , on d´ eduit que
⇔
n
i=1
y i − nˆ α MC − ˆ
β MC
n
i=1
x i = 0
⇔ ˆ
α MC = y − ˆ
β MC x,