7. Estimation ponctuelle 145
Soient X 1 , . . . , X n n observations ind´ ependantes issues de cette distribution.
1. Calculer l’estimateur T n de α obtenu par la m´ ethode des moments.
2. En sachant que V (T n )
α(α+2)
2
2n(α+3) , montrer que T n n’est pas efficace en
calculant la borne de Cram´ er-Rao.
7.32
Une usine qui produit des pi` eces ´ electroniques a d´ ecid´ e de marquer chaque
pi` ece avec un num´ ero de s´ erie. Les num´ eros de s´ erie commencent ` a 1 et se
terminent `
a N , o` u N est le nombre de pi` eces produites. Deux pi` eces sont tir´ ees
au hasard et leur num´ eros de s´ erie sont 888 et 751 respectivement. Quelle est
l’estimation de N par la m´ ethode des moments? Et quelle est l’estimation par
la m´ ethode du maximum de vraisemblance?
7.33
Soient X 1 , . . . ,X n des variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement
distribu´ ees dont la densit´ e est d´ efinie par
f θ (x) =
x
θ exp
−
x
2
2θ
si x > 0
0
s i n o n .
1. D´ eterminer l’estimateur des moments de θ.
2. D´ eterminer θ MV , l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.
3. Utiliser ce r´ esultat pour montrer que θ MV est un estimateur sans biais
pour θ.
4. Pour n = 10, existe-t-il un autre estimateur non biais´ e de θ dont la
variance est strictement plus petite que celle de θ MV ?
7.34
Lorsqu’une variable expliqu´ ee (endog` ene) est dichotomique, on utilise souvent un mod` ele logistique pour la mod´ eliser. Soit
P (Y = 1 | X = x) = p =
1
1 + e −βx
P (Y = 0 | X = x) = 1 − p =
1
1 + e βx ,
Soient X 1 , . . . , X n n observations ind´ ependantes issues de cette distribution.
1. Calculer l’estimateur T n de α obtenu par la m´ ethode des moments.
2. En sachant que V (T n )
α(α+2)
2
2n(α+3) , montrer que T n n’est pas efficace en
calculant la borne de Cram´ er-Rao.
7.32
Une usine qui produit des pi` eces ´ electroniques a d´ ecid´ e de marquer chaque
pi` ece avec un num´ ero de s´ erie. Les num´ eros de s´ erie commencent ` a 1 et se
terminent `
a N , o` u N est le nombre de pi` eces produites. Deux pi` eces sont tir´ ees
au hasard et leur num´ eros de s´ erie sont 888 et 751 respectivement. Quelle est
l’estimation de N par la m´ ethode des moments? Et quelle est l’estimation par
la m´ ethode du maximum de vraisemblance?
7.33
Soient X 1 , . . . ,X n des variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement
distribu´ ees dont la densit´ e est d´ efinie par
f θ (x) =
x
θ exp
−
x
2
2θ
si x > 0
0
s i n o n .
1. D´ eterminer l’estimateur des moments de θ.
2. D´ eterminer θ MV , l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.
3. Utiliser ce r´ esultat pour montrer que θ MV est un estimateur sans biais
pour θ.
4. Pour n = 10, existe-t-il un autre estimateur non biais´ e de θ dont la
variance est strictement plus petite que celle de θ MV ?
7.34
Lorsqu’une variable expliqu´ ee (endog` ene) est dichotomique, on utilise souvent un mod` ele logistique pour la mod´ eliser. Soit
P (Y = 1 | X = x) = p =
1
1 + e −βx
P (Y = 0 | X = x) = 1 − p =
1
1 + e βx ,