144 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
avec c > 0 fix´ e.
L’esp´ erance d’une variable al´ eatoire X i qui suit la loi de Weibull vaut µ =
θ
1/c Γ(1 + 1/c), o` u Γ(α) est la fonction Gamma.
1. Trouver l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
θ MV de θ.
2. Calculer son esp´ erance et sa variance.
Indication : pour ce calcul, trouver d’abord la densit´ e de Y i = X
c
i et
ensuite E(X
c
i ) et var(X
c
i ).
3. Calculer la borne de Cram´ er-Rao pour des estimateurs non biais´ es de θ.
Est-ce que ˆ
θ MV est un bon estimateur?
7.29
Soit X une variable al´ eatoire log-normale de param` etres µ et et σ
2 , c’est-` adire v´ erifiant la propri´ et´ e log(X) ∼ N (µ, σ
2 ). La densit´ e d’une telle distribution
s’´ ecrit
f (x) =
c
x
exp
−
log(x) − µ
2
2σ 2
, x > 0
1. Calculez l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
µ MV de µ bas´ e sur
X 1 , . . . , X n , sachant que c ne d´ epend pas de µ.
2. Calculer E(ˆ µ MV ). S’agit-il d’un estimateur non biais´ e?
3. Calculer V ar(ˆ µ MV ) et la borne de Cram´ er-Rao. Est-ce que ˆ
µ MV est un
bon estimateur? Justifiez votre r´ eponse.
7.30
Lorsqu’on d´ esire estimer une distribution de revenus, on utilise souvent
un mod` ele bas´ e sur la loi log-normale, c’est-` a-dire Y ∼ log-normale(µ, σ
2 ) ou
log(Y ) ∼ N (µ, σ
2 ). De plus, il arrive souvent qu’on exprime µ par une combinaison lin´ eaire de variables explicatives. Prenons le cas simple d’une seule
variable explicative, c’est-` a-dire µ = βx.
1. ´
Etant donn´ e un ´ echantillon d’observations (x i , y i ), calculer les estimateurs
du maximum de vraisemblance ( ˆ
β MV , ˆ
σ
2
MV ) de (β, σ
2 ).
2. Calculer la borne de Cram´ er-Rao pour σ
2 (β ´ etant constant) et la comparer `
a la variance de ˆ
σ
2
MV . Commenter.
7.31
On veut mod´ eliser des parts budg´ etaires par une distribution Beta(α, 2)
avec densit´ e
f α (x) = α(α + 1)x
α−1 (1 − x), 0 < x < 1, α > 0.