7. Estimation ponctuelle 143
7.26
Soient X 1 , . . . , X n provenant d’une loi de Pareto avec densit´ e
f α (x) =
αx
α
0 x
−(1+α)
x > x 0
0
s i n o n ,
avec x 0 > 0 et α > 1.
1. Calculer l’estimateur des moments ˆ
α M de α.
2. Donner l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
α MV de α.
3. On d´ ecide de changer de param´ etrisation en prenant α = 1/η. La densit´ e
s’´ ecrit donc
f η (x) =
1
η x
1/η
0 x
−(1+1/η)
x > x 0
0
s i n o n ,
avec x 0 > 0 et η < 1.
Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
η MV de η.
4. Quelle est la relation entre ˆ
α MV et ˆ
η MV ? Commenter.
7.27
On consid` ere le mod` ele de r´ egression
Y i = α + βx i + i i = 1, . . . , n,
o` u x 1 , . . . , x n sont fix´ es et 1 , . . . , , n sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes
suivant une loi N (0, σ
2 ).
1. D´ emontrer que les estimateurs des moindres carr´ es pour α et β sont les
estimateurs du maximum de vraisemblance.
2. Donner la densit´ e de Y i .
3. Supposons par simplicit´ e que α est connu. Calculer l’estimateur des moindres
carr´ es de β et sa variance.
4. Donner g β (y 1 , . . . ,y n ), la densit´ e conjointe de (Y 1 , . . . ,Y n ).
5. Calculer l’information de Fisher
J(β) par rapport `
a g β (y 1 , . . . ,y n ).
6. Conclure en utilisant :
- la borne de Cram´ er-Rao ;
- l’exercice 7.14.
7.28
Soient X 1 , . . . , X n les revenus annuels des jeunes diplˆ om´ e(e)s de l’Universit´ e
de Gen` eve durant leur 1
re ann´ ee de travail. On suppose que chaque X i suit la
loi de Weibull de densit´ e
f θ (x) =
c
θ x
c−1 exp(−
x
c
θ ) x > 0
0
s i n o n ,