142 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
7.21
Soit une variable al´ eatoire X distribu´ ee selon la loi binomiale B(n, p).
1. Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance pour p.
2. Calculer la borne de Cram´ er-Rao.
3. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance calcul´ e en 1.
atteint la borne de Cram´ er-Rao.
7.22
On suppose que X 1 , . . . ,X n sont ind´ ependants et identiquement distribu´ es
selon une loi N (µ, σ
2 ).
1. Pour µ connu, donner l’estimateur du maximum de vraisemblance de σ
2 .
2. Dessiner le logarithme de la fonction de vraisemblance de µ dans le cas o` u
σ
2 est connu. Donner l’estimateur du maximum de vraisemblance de µ.
3. Dans le dernier cas ci-dessus (σ
2 connu), existe-t-il un autre estimateur
de µ qui poss` ede une variance plus petite?
7.23
Soient X 1 , . . . ,X n des variables al´ eatoires ind´ ependantes suivant une loi avec
fonction de densit´ e
f θ (x) = (θ + 1)x
θ , pour 0 ≤ x ≤ 1.
1. Trouver l’estimateur des moments de θ.
2. Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.
7.24
Si X 1 , . . . , X n sont issus d’une loi uniforme U(a, b), calculer ˆ
a M et ˆ b M , les
estimateurs des moments de a et de b.
7.25
Consid´ erons X 1 , . . . , X n ind´ ependants provenant d’une loi uniforme U(0, θ).
1. Calculer Y l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.
Indication : dessiner la fonction de vraisemblance de θ et en d´ eduire le
maximum.
2. D´ eterminer la distribution de Y , c’est-` a-dire calculer F Y (y) = P (Y < y).
(Consid´ erer d’abord le cas n = 2.)
3. Calculer le biais de l’estimateur Y et proposer un estimateur sans biais
de la forme aY , avec a ∈ R.